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第五章基本图形(二)§5.1圆的基本性质
知识回顾(一)知识要点1.圆的概念圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆2.圆的有关性质(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,圆还具有旋转不变性.(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)弦、弧、圆心角的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.(4)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.(5)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.
(二)基础自测1.如图,已知AB是△ABC外接圆的直径,∠A=35°,则∠B的度数是()A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°第2题第1题CC
3.(2020·陕西)如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,E是边BC的中点,连接OE并延长,交⊙O于点D,则∠D的大小是()A.55°B.65°C.60°D.75°第3题4.(2021·凉山)已知P是⊙O内一点,过点P的弦最长为10cm,最短为6cm,那么OP的长为()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cmBB
5.如图,DC是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点F,连接BC,DB,则下列结论中,错误的是()A.B.AF=BFC.OF=CFD.∠DBC=90°C第6题第5题6.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠DAB=60°,则∠BDC的度数是()A.60°B.90°C.100°D.120°D⌒⌒AD=BD
典例解剖例1如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BOD=80°,则∠BAC=____.【思路分析】根据垂径定理可得B是的中点.由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得岀答案.⌒CD40°
【解答过程】∵⊙O的直径AB与弦CD垂直,∴.∴∠BAC=∠BOD=40°.故答案为40°.⌒⌒AD=BD【解题回顾】【学习感悟】解答本题用到了哪些知识点?有什么基本图形?你还能得出其他结论吗?请说出两个.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
例2一根排水管的截面如图,已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后,水管水面上升了0.2m,则此时排水管内的水面宽CD等于____m.1.6【思路分析】本题可先根据半径与水面宽度求出水深,再根据水深及半径求水面宽度.
【解答过程】【学习感悟】如图,连接OC,过点O作AB的垂线,交AB于点E.由垂径定理可得AE=0.6m,利用勾股定理求得0E的长为0.8m,EF=0.2m,可得OF=0.6m.由勾股定理可得CF=0.8m,从而可求得CD=1.6m.与圆有关的计算问题中,求半径、弦长、圆心到弦的距离三个量中的一个量是常出现的题型之一,掌握本题的基本图形,掌握三个量之间的关系即可顺利解决问题.
变式迁移1:如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点E,,CE=1,AB=6,求弦AF的长.⌒⌒AB=BF
【解答过程】连接OA,OB,记OB交AF于G,如图.∵AB⊥CD,AB=6,∴AE=BE=AB=3.设⊙O的半径为r,则OE=r-1,OA=r.在Rt△OAE中,,解得r=5.∵,∴OB⊥AF,AG=FG.在Rt△OAG中,,①在Rt△ABG中,,②解由①②组成的方程组得∴故答案为.⌒⌒AB=BF
例3如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数.(2)求证:∠1=∠2.【思路分析】由条件EC=BC=DC,你会想到什么?同圆或等圆中弦、弧、圆心角的关系是只要有一对量相等,其余
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