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1.1写出下列随机试验的样本空间:
某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;
解:连续5次都命中,至少要投5次以上,故;
掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;
解:;
观察某医院一天内前来就诊的人数;
解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以;
从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;
解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:
检查两件产品是否合格;
解:用0表示合格,1表示不合格,则;
观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);
解:用表示最低气温,表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故:
;
在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;
解:;
在长为的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.
解:;
1.3设样本空间,事件=,
具体写出下列各事件:(1);(2);(3);(4)
;
(2)=;
(3)=;
(4)=
1.6按从小到大次序排列,并说明理由.
解:由于故,而由加法公式,有:
1.7若W表示昆虫出现残翅,E表示有退化性眼睛,且P(W)=0.125;P(E)=0.075,
P(WE)=0.025,求下列事件的概率:
(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛;
(2)昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛;
(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛.
解:(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:
由于事件可以分解为互斥事件,昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为:
(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为:.
1.8设A与B是两个事件,P(A)=0.6;P(B)=0.8。试问:
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?最大值是多少?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?最小值是多少?
解:(1)由于,故显然当时P(AB)取到最大值。最大值是0.6.
(2)由于。显然当时P(AB)取到最小值?,最小值是0.4.
1.9设P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(AB)=0,P(AC)=0.1,P(BC)=0.2,求事件
A,B,C中至少有一个发生的概率.
解:因为P(AB)=0,故P(ABC)=0.至少有一个发生的概率为:
1.10计算下列各题:
(1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.6,求P(AB);
(2)设P(A)=0.8,P(AB)=0.4,求P(AB);
(3)设P(AB)=P(AB);P(A)=0.3,求P(B)。
解
通过作图,可以知道,
1.11把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3概率各为多少?
解:用表示事件“杯中球的最大个数为个”=1,2,3。三只球放入四只杯中,放法有种,每种放法等可能。
对事件:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法4×3×2种,故
(选排列:好比3个球在4个位置做排列)。
对事件:必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种),故。
1.12掷一颗匀称的骰子两次,求前后两次出现的点数之和为3;4;5的概率各是多少?
解:此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5的概率各是。
1.13在整数中任取三个数,求下列事件的概率:
三个数中最小的一个是5;(2)三个数中最大的一个是5.
解:从10个数中任取三个数,共有种取法,亦即基本事件总数为120。
若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有种,故所求概率为。
(2)若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有种,故所求概率为。
1.1412只乒乓球中有4只是白色球,8只是黄色球。现从这12只乒乓球中随机地取出两
只,求下列事件的概率:
(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.
解:分别用表示事件:
(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.
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