北京市北京第二外国语学院附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷.docxVIP

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北京市北京第二外国语学院附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量且，则

A． B． C． D．

2．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（????）

A．2 B． C． D．

3．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（????）

A． B． C． D．

4．已知向量，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在中，角的对边分别为，若，则一定是(????)

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形

6．如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（????）

A． B． C． D．

7．已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题是（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

8．一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（????）

A． B． C． D．

9．已知正方形的边长为1，点P是对角线上任意一点，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

10．如图，正方体的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知向量，满足，，，则与的夹角为．

12．在中，，则

13．在△ABC中，点D满足，若，则

14．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．

15．如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是；直线和底面ABCD所成的角的大小是．

16．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且，给出下列三个结论：

①三棱锥与的体积相等；

②三棱锥的体积为定值；

③三棱锥的高长为

（三棱锥的高长即点到平面的距离）．

所有正确结论的序号有．

三、解答题

17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，，，点D在边BC上，且∠ADC＝60°．

(1)求cosB与△ABC的面积；

(2)求线段AD的长．

18．如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：

??

(1)；

(2)平面平面.

19．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.

求证：（1）底面；

（2）平面；

（3）平面平面.

20．在中，，．

(1)求；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长．

条件①：；条件②：；条件③：．

21．设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.

(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由；

(2)若集合，求证：A不可能具有性质；

(3)若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.

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参考答案：

1．B

【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.

详解：因为，所以，即；

所以；

所以.

点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力.

解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示；

熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.

2．B

【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答.

【详解】，而，且复数是纯虚数，

所以，解得.

故选：B

3．C

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，

则圆锥和圆柱的高为，

所以圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,

故选:C.

4．A

【分析】先计算时的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.

【详解】因为，，

所以，，

当时，

，即

解得

所以“”是的充