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第16讲圆的方程7种常见考法归类
回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
知识点1圆的标准方程
1.圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
2.圆的要素:是圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.如图所示.
222
3.圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)+(y-b)=r.
222
当a=b=0时,方程为x+y=r,表示以原点为圆心、半径为r的圆.
注:(1)圆的方程的推导:
22
设圆上任一点M(x,y),则|MA|=r,由两点间的距离公式,得x-a+y-b=r,
222
化简可得:(x-a)+(y-b)=r.
22
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x+y=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
(4)圆上的点都满足方程,满足方程的点都在圆上.
知识点2点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d<r⇔点在圆
内.
222
(2)根据点M(x,y)的坐标与圆的方程(x-a)+(y-b)=r的关系判断:
00
222
(x-a)+(y-b)>r⇔点在圆外;
00
222
(x-a)+(y-b)=r⇔点在圆上;
00
222
(x-a)+(y-b)<r⇔点在圆内.
00
知识点3圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
2222
当D+E-4F>0时,二元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
DE
x+y+22
D+E-4F
222222
注:将方程x+y+Dx+Ey+F=0,配方可得2+2=,当D+E-4F0时,
4
222222
方程x+
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