第01讲 平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类（原卷版）-新高二数学暑假自学课讲义.pdf

第01讲平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类

1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；

2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；

3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；

1.向量数量积的定义

→→

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图所示)，则

∠＝叫做向量与的夹角

AOBθ(0≤θ≤π)ab.

π

(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们

2

说与垂直，记作⊥

abab.

向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的

(3)abθ|a||b|cosθab

数量积或内积，记作，即＝

()a·ba·b|a||b|cosθ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

2.向量的投影

→→→

(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，

→→→

分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为，，得到AB，则称上述变换为向量向向量投影，AB叫

ABab

111111

做向量在向量上的投影向量

ab.

计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是

(2)beabθab|a|cosθe.

|a|cosab

注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；



当为直角时，它是．

0

3.平面向量数量积的几何意义

ababa|a|ba|b|cos

的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．

4.向量数量积的性质

设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

abθeb

＝＝

(1)a·ee·a|a|c