数学（文）（江苏专用）总复习教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数 第讲　函数的单调性与最值 .docxVIP

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第2讲函数的单调性与最值

考试要求1。函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性,B级要求．

知识梳理

1．函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f（x1）〈f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数

当x1〈x2时，都有f(x1)〉f(x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x)在这一区间具有(严格的）单调性,区间D叫做函数y＝f(x）的单调区间.

2.函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意x∈I,都有f（x)≤M；

(2）存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3）对于任意x∈I,都有f（x）≥M；

（4)存在x0∈I，使得f(x0）＝M

结论

M为最大值

M为最小值

诊断自测

1．判断正误(在括号内打“√或“×”)

(1)对于函数f（x),x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）［f（x1)－f(x2)]0,则函数f(x)在区间D上是增函数．()

(2)函数y＝eq\f（1,x）的单调递减区间是（－∞，0）∪(0，＋∞）．（)

(3)对于函数y＝f（x），若f（1)〈f（3)，则f（x）为增函数．（)

（4)函数y＝f(x)在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1，＋∞)．（）解析（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1）＜f(1），故应说成单调递减区间为（－∞，0）和（0，＋∞）．

（3）应对任意的x1＜x2,f(x1）＜f(x2）成立才可以．

(4)若f（x)＝x，f(x）在[1,＋∞)上为增函数,但y＝f（x）的单调递增区间可以是R。

答案（1)√(2)×（3）×（4)×

2．(必修1P44习题2改编)如果二次函数f（x）＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1）上是减函数，则实数a的取值范围为________．

解析二次函数的对称轴方程为x＝－eq\f（a－1，3)，

由题意知－eq\f(a－1，3）≥1,即a≤－2.

答案（－∞，－2］

3．(2017·盐城调研)下列函数：

①y＝eq\f（1,x)－x；②y＝x2－x；③y＝lnx－x；④y＝ex－x.

其中在区间(0，＋∞)内单调递减的是________(填序号)．

解析对于①,y1＝eq\f（1,x）在（0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞）内是增函数,则y＝eq\f（1，x)－x在（0，＋∞)内是减函数；②，③中的函数在（0，＋∞）上均不单调；④中,y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞）时，y′＞0,所以函数y＝ex－x在(0，＋∞）上是增函数．

答案①

4．函数f（x）＝lgx2的单调递减区间是________．

解析f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lgu在(0,＋∞)上为增函数,u＝x2在（－∞,0)上递减,在（0，＋∞）上递增，故f(x）在（－∞，0)上单调递减．

答案(－∞，0）

5．(2016·北京卷）函数f（x）＝eq\f（x,x－1）(x≥2)的最大值为________．

解析易得f(x）＝eq\f（x，x－1）＝1＋eq\f（1，x－1），当x≥2时，x－10,易知f(x）在［2，＋∞)是减函数，

∴f（x)max＝f(2)＝1＋eq\f（1，2－1）＝2。

答案2

考点一确定函数的单调性（区间)

【例1】(1)函数f（x)＝（x2－4)的单调递增区间为________．

（2)试讨论函数f(x)＝eq\f（ax，x－1)(a≠0)在(－1,1）上的单调性．

(1)解析由x2－4〉0,得x2或x－2。

∴f（x）的定义域为(－∞，－2）∪（2,＋∞)．

令t＝x2－4，则y＝t（t0）．

∵t＝x2－4在（－∞,－2)上是减函数,且y＝t在(0，＋∞)上是减函数，∴函数f（x)在(－∞，－2）上是增函数，即f（x）单调递增区间为(－∞，－2)．

答案(－∞，－2)

(2)解法一设－1〈x1x21，

f（x)＝aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x－1＋1，x－1）））＝aeq\b\