数学（文）（江苏专用）总复习教师用书：第八章 立体几何初步 第讲　线面平行与面面平行 .docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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第2讲线面平行与面面平行

考试要求1。空间中线面平行、面面平行的判定定理、性质定理及有关性质，B级要求；2。运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题，B级要求．

知识梳理

1．直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面

a?α，b?α，a∥b?a∥α

性质定理

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

2．平面与平面平行

(1）平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面．

(2）判定定理与性质定理

文字语言

图形表示

符号表示

判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β

性质定理

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a?α?a∥β

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b

3．与垂直相关的平行的判定

（1）a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)a⊥α，a⊥β?α∥β。

诊断自测

1．判断正误(在括号内打“√或“×”）

(1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（)

（2）若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(）

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（）

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(）

解析（1）若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故（1)错误．

(2）若a∥α，P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误．

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交,故（3)错误．

答案(1)×（2）×（3)×(4）√

2．给出下列四个命题：

①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行;

③若直线a，b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b；

④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α，b?α,则b∥α.

其中正确的是________(填序号)．

解析根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．

答案④

3．(2015·北京卷改编）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.“m∥β”是“α∥β”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个）．

解析当m∥β时,可能α∥β，也可能α与β相交．

当α∥β时,由m?α可知,m∥β。

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

答案必要不充分

4．（必修2P35练习5改编）如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC

解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案平行

5．设α,β，γ为三个不同的平面，a，b为直线,给出下列条件:

①a?α，b?β,a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ,β⊥γ；④a⊥α,b⊥β，a∥b。

其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)．

解析在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．

由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足．

在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β,从而α∥β,④满足．

答案②④

考点一线面、面面平行的相关命题的真假判断

【例1】(2015·安徽卷改编)已知m,n是两条不同直线,α，β是两个不同平面，则下列命题：

①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；

②若m,n平行于同一平面，则m与n平行；

③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线;

④若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．

其中正确的是________(填序号）．

解析对于①，α,β可能相交,故错误;对于②，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误;对于③，若m?α，α∩β＝n，m∥n,则m∥β，故错误；对于④，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故④正确．

答案④

规律