数学（文）（江苏专用）总复习教师用书：第八章 立体几何初步 第讲　空间点、线、面之间的位置关系 .docxVIP

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第1讲空间点、线、面之间的位置关系

考试要求1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题），A级要求；2。空间点、线、面的位置关系,A级要求．

知识梳理

1．平面的公理与定理

(1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

（2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4）公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（5)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补．

2．空间中两直线的位置关系

(1)位置关系的分类

eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内)）

（2)异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b,把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角)．

②范围：eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))）.

3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

（1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

诊断自测

1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）圆心和圆上两点可以确定一个平面．(）

(2)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(）(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()

（4)已知a，b，c,d是四条直线,若a∥b，b∥c,c∥d，则a∥d.（)

（5)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线．（)

解析（1）若圆心和圆上两点在一条直线上,可确定无数个平面,故(1)错误；（3)两个平面α,β有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故（3)错误；(5)两条直线a，b没有公共点，则a与b平行或异面，故（5）错误．

答案(1)×(2）√（3)×(4）√（5)×

2．已知a，b是异面直线,直线c平行于直线a，那么关于c与b位置关系,下列说法正确的是________（填序号)．

①一定是异面直线；②一定是相交直线；③不可能是平行直线；④不可能是相交直线．

解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b,与已知a，b为异面直线相矛盾．

答案③

3．给出下列命题：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面;

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确的命题是________(填序号）．

解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确;两条平行线可以确定一个平面，∴②正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，∴④不正确．

答案②③

4．(2015·广东卷改编）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题:①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．

其中真命题是________(填写所有真命题的序号）．

解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故①②不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故③不正确,故填④.

答案④

5．(必修2P31习题12改编）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是棱A1B1，A1D1的中点,则A1B与EF

解析如图，连接B1D1，D1C，B1C。由题意知EF是△A1B1D1的中位线，所以EF∥B1D1，又A1B∥D1C，即∠B1D1C(或其补角)为异面直线A1B与EF所成的角．因为△D1B1C为正三角形,所以∠B1D1C＝eq\f(π,3).故A1B与EF所成角的大小为eq\f(π,3）。

答案eq\f(π,3）

考点一平面基本性质的应用

【例1】如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是AB和AA1

(1）E，C,D1，F四点共面；