概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答.doc

习题3-1

1、设的分布律为

1

2

求。

解：由分布律的性质，得，即，，

解得，。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设的分布函数为，试用表示：

（1）；（2）；（3）。

解：根据分布函数的定义，得

（1）；

（2）；

（3）。

3、设二维随机变量的分布函数为，分布律如下：

1

2

3

4

1

0

0

2

0

3

0

0

试求：（1）；（2）；（3）。

解：由的分布律，得

（1）；

（2）

；

（3）

。

4、设X，Y为随机变量，且，求

。

解：。

注：此题关键在于理解表示，然后再根据概率的加法公式。

5、只取下列数值中的值：，且相应概率依次为，，，。请列出的概率分布表，并写出关于的边缘分布。

解：（1）根据的全部可能取值以及相应概率，得的概率分布表为

（2）根据的边缘分布与联合分布的关系，得

所以，的边缘分布为

6、设随机向量服从二维正态分布，其概率密度函数为

，

求。

解：由图形对称性，得，故。

注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。

7、设随机变量的概率密度为，

（1）确定常数； （2）求；（3）求；（4）求。

分析：利用，再化为累次积分，其中

解：（1）由概率密度函数的完备性，得，解得。

（2）；

（3）；

（4）。

8、已知和的联合密度为

，

试求：（1）常数；（2）和的联合分布函数。

解：（1）由概率密度函数的完备性，得

，解得。

（2）。

9、设二维随机变量的概率密度为

求边缘概率密度。

解：。

10、设在曲线，所围成的区域内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。

解：据题意知，区域的面积为，

由于在区域内服从均匀分布，

故的概率密度函数为。

，

。

注：此题求解首先必须画出区域的图形。然后根据图形确定积分上下限。

习题3-2

1、二维随机变量的分布律为

（1）求的边缘分布律；（2），；（3）判定与是否独立？

解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知

所以，的边缘分布律为

（2），

；

（3）根据二维随机变量的分布律可知其边缘分布律

由于，所以与不独立。

2、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为与。据以往积累的资料知，和的联合分布律为

51

52

53

54

55

51

0.06

0.05

0.05

0.01

0.01

52

0.07

0.05

0.01

0.01

0.01

53

0.05

0.10

0.10

0.05

0.05

54

0.05

0.02

0.01

0.01

0.03

55

0.05

0.06

0.05

0.01

0.03

(1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律。

解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得

51

52

53

54

55

51

0.06

0.05

0.05

0.01

0.01

0.18

52

0.07

0.05

0.01

0.01

0.01

0.15

53

0.05

0.10

0.10

0.05

0.05

0.35

54

0.05

0.02

0.01

0.01

0.03

0.12

55

0.05

0.06

0.05

0.01

0.03

0.20

0.28

0.28

0.22

0.09

0.13

（2），

，

，

，

，

8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为

51

52

53

54

55

3、已知的分布律如表所示，

0

1

2

0

1/4

1/8

0

1

0

1/3

0

2

1/6

0

1/8

求：（1）在的条件下，的条件分布律；（2）在的条件下，的条件分布律。

解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下：

0

1

2

0

1/4

1/8

0

3/8

1

0

1/3

0

1/3

2

1/6

0

1/8

7/24

5/12

11/24

1/8

（1）根据上表，可得，

，

，

所以，在的条件下，的条件分布律为

（2）根据上表，可得，

，

，

所以，在的条件下，的条件分布律为

4、已知的概率密度函数为

，

求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数。

解：（1）；

；

（2）当时，；

当时，。

注：此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。

5、设与相互独立，其概率分布如表所示，

-2

-1

0

1/2

1/4

1/3

1/12

1/3

-1/2

1

3

1/2

1/4

1/4

求的联合概率分布，，。

解：由于与相互独立，故对任意，有，

所以，的联合概率分布为

-1/2

1

3

-2

1/8

1/16

1/16

1/4

-1

1/6

1/12