函数综合(解析版）.pdfVIP

1．（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·28）（12分）如图在平面直角坐标系内，点A

与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx+b平

行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F．

（1）求经过点A，C两点的直线解析式；

（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，

请说明理由；

（3）如果将直线AC作向下平移，交y轴于点C′，交AB于点A′，连接DC′，过点E作EF′∥

DC′，交A′C′于点F′，那么能否使四边形C′DEF′成为正方形？若能，请求出此时正方形的面

积；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式；

（2）D在OB上移动，设出D点坐标，根据矩形性质CD⊥DE，从而有一个斜率关系，代入可求出D

点坐标，从而求出直线DE；

（3）在第二问的基础上继续延伸，使其成正方形，要求C′D＝DE就可以了，列出方程解出直线DE

解析式，再求出边长就解决问题了．

【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵A（4，8），C（0，5），

∴，

解得k＝，b＝5，

∴直线AC的解析式为：y﹣5＝x，即y＝x+5；

（2）如图1，设D（m，0），

∵，DE∥AC，AC⊥CD，

∴k＝，kCD＝﹣，

又C（0，5），D（m，0），

∴，

∴m＝，

∴点D（，0）代入y＝x+b，

∴b＝﹣；

（3）如图2，假设存在这样的正方形则由题意：将直线AC作向下平移，

则可设直线AC的解析式为：y＝x+5+c，

∵A′C′∥DE，

∴k＝直线DE的解析式为：y＝x+b，

令y＝0，得x＝b，

设D（b，0），C′（0，5+c），

又∵E点横坐标为4，

∴E（4，3+b），

则OD＝﹣b，BD＝4+b，BE＝3+b，OC′＝5+c，

∵由题意使四边形C′DEF′成为正方形，

∴DO＝BE，OC′＝DB，

则，

解得：

∴边长为＝，

∴正方形的面积S＝．

【点评】此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系，但实质考查计算能力，解

方程组．第三问探讨存在性问题，间接考查了正方形的性质．

2．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·28）（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、

y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，3），一次函数y＝﹣x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，

且OD＝BE．点M是直线DE上的一个动点．

（1）求b的值；

（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；

（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标．

【分析】（1）根据矩形的性质，用b表示E点坐标，待定系数法可解；

（2）求出四边形OAED的面积，分两种情况求△ODM的面积；

（3）以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以OD，OM，DM为对角线，分

别求出N点坐标．

【解答】解：（1）当x＝0时，代入y＝﹣x+b得，y＝b，D点坐标（0，b），OD＝b，

∵OD＝BE，

∴BE＝b，

点E的坐标为（2，3﹣b），代入y＝﹣x+b得：3﹣b＝﹣1+b，

解得：b＝2；

（2）∵S四边形OAED＝