拉普拉斯变换与傅里叶变换.docx

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

学 院：

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指导老师：

电气工程学院

电气工程及其自动化杨箭

1109141063

董德智

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拉普拉斯变换与傅里叶变换

一、傅里叶变换在应用上的局限性

在第四章中，已经介绍了一个时间函数

??

ft满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存

ft

在一对傅里叶变换。即

F?j??????

??

f?t?e?j?tdt

(正变换)(5.1)

f?t?? 1

2?

??F?j??ej?td?

??

(反变换)(5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号

??

U

Ut

tUtsin?

tUt

sin?tUt

，单边正弦信号

??

等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

??? ?

还有一些信号，例如单边增长的指数信号eatUt

a?0

等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究

线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。

f?t?

f?t?

实际上，信号

总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号

接入系统的时刻

=0作为t?0的时刻(称为起始时刻)，那么，在t＜0的时间内即有f?t?

=0

。我们把具有起始时

刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为

F?j?????

0?

f?t?e?j?tdt

(5-3)

中有可能包含有冲激函数式(5-3)中的积分下限取为0?，是考虑到在t?0的时刻f?t?

中有可能包含有冲激函数

?t??

?t

?

。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是

f?t?

)，不过此时要在公式后

面标以t＞0，意即只有在t＞0时 才有定义，即

f?t??

1 ??

2? ??

F?j??ej?td?

t＞0(5-4a)

或用单位阶跃函数

??

U

Ut

f?t??

?1 ?

??2??

F?j??ej?td??

?t?

?U?? ?

?U

二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

ft??

ft

当函数 不满足绝对可积条件时，可采取给

??

ft乘以因子

ft

e??t（?

为任意实常数)

的办法，这样即得到一个新的时间函数

f?t?e??t

。今若能根据函数

??

ft的具体性质，恰当地

ft

选取?的值，从而使当t??时，函数f?t?e??t?0，即满足条件

limf?t?e??t?0

t??

则函数

f?t?e??t即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e??t

ft??

ft

起着使函数 收敛的作用，故称

e??t为收敛因子。

fte??t

fte??t

设函数 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据

式(5-3)有

F?j?????

0?

f?t?e??te?j?tdt???

0?

f?t?e????j??tdt

? ?

? ??j?j

在上式中， 是以 的形式出现的。令

s???j?，s为一复数变量，称为复频

1

率。?的单位为s，?的单位为rad/s。这样，上式即变为

F?j?????

0?

f?t?e?stdt

F?j??

F?s?

由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将 改写为 ，

F?s????

即 0?

f?t?e?stdt

(5-5)

F?s?

f?t?

F?s?

f?t?

f?t?

复变量函数 称为时间函数

F?s?

的单边拉普拉斯变换。 称为

的像函数， 称

为 的原函数。一般记为

F?s??L?f?t??

L?1???

f?t?

符号 为一算子，表示对括号内的时间函数

F?s?

进行拉普拉斯变换。

利用式(5-4)可推导出求 反变换的公式，即

f?t?e??t ? 1

2?

?? F?s?