高数课件佚名一阶微分方程.pptxVIP

§9.2一阶微分方程一、可分离变量方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程

一阶微分方程的形式可表为一、可分离变量方程形如的一阶微分方程,称为可分离变量方程.

对（9-10）两边积分,得通解将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法，称为分离变量法.均为可分离变量方程.

例1解分离变量,得两边积分,得即得通解

例2解合并同类项,得分离变量,得两边积分,得即有通解

例3解分离变量,即有两边积分,得

整理得通解于是所求特解为

例4并且同时该公司每年要以30百万元的数额连续支付职工工资.解(1)利用平衡法,即由净资产增长速度=资产本身增长速度职工工资支付速度

得到方程(2)分离变量,得积分,得于是或得方程通解:

通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.(3)由通解表达式可知,净资产额单调递减,公司将在第36年破产;公司将收支平衡,净资产保持在600百万元不变;将按指数不断增长.

1.齐次微分方程形如的一阶微分方程,称为齐次微分方程,简称齐次方程.二、齐次微分方程例如,所以该方程是齐次方程.

分离变量再积分，得代入方程，得

注意

例5解所给方程为齐次方程,代入原方程,得即分离变量,得积分,得即即得方程通解

例6解将方程改写为齐次方程则有即

分离变量,得积分,得即得方程通解

例7解所给方程为齐次方程,整理得则有

分离变量,得积分,得于是有通解

2.可化为齐次方程的方程为齐次方程.否则为非齐次方程.解法原方程成为

有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.方程组

可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.

例8解因为于是由方程解得则令方程变为得

分离变量,得积分得得原方程通解

形如的一阶微分方程,称为一阶线性微分方程,其中,则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程,三、一阶线性微分方程则称方程为一阶非齐次线性方程.

对应的齐次线性方程的通解为1.一阶齐次线性方程的解法可分离变量的方程

2.一阶非齐次线性方程的解法两边求导，得

两边积分，得

代入原方程，得

这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的方法称为常数变易法.

例9解由方程对应的齐次方程分离变量,得积分,得代入原方程,得

即有积分,得于是原方程的通解为

例10解方程变为不是一阶线性微分方程,不便求解.方程改写为则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为

分离变量,积分,得即令为原方程的解,代入原方程,有积分,得于是原方程的通解为

例11解分离变量,积分,得方程对应的齐次方程为变易常数,令的通解为

代入原方程,积分,得得得所以所求产值函数为于是方程的通解为

伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.伯努利方程解法:经过变量代换化为线性微分方程.3.伯努利方程

代入上式

例12解得则方程化为其通解为所求方程的通解为

作业：P3141.(2),(4),(6),(8);2.(2),(4),(6),(8);5.(2),(4),(6),(8),(10);