任意角、弧度制及任意角的三角函数导学案-2025届高三数学一轮复习.docx

任意角、弧度制及任意角的三角函数导学案

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一、知识清单

1.任意角

（1）角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

（2）角的分类：

正角、负角和零角：一条射线绕其端点按_________方向旋转形成的角叫做正角，按_________方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，那么称它形成了一个___________.

象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角.

与角α的终边相同的角的集合S＝________________________。

2.弧度制的定义和公式

（1）定义：长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

（2）公式（在半径为r的圆中）：

角α的弧度数公式

｜α｜＝?????（弧长用?l?表示）

角度与弧度的换算

①?1°＝??????≈0.01745?rad?；

②?1?rad?＝????≈57.30°

弧长公式

?l?＝????????

扇形的面积公式

?S?＝____________＝__________，α∈（0，2π）

3.任意角的三角函数

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，则sinα＝____；cosα=______；tanα=_______.

4.三角函数定义的推广：

当P(x,y)是单位圆上的一点时，有sinα＝_____，cosα＝_____，tanα＝_____（x≠0）.当P(x,y)不是单位圆上的一点，且圆的半径为r(r0且r≠1)时，sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______，（其中r=________）.

二、自我诊断，小组互答（每空5分，共55分），得分__________。

1.判断：

（1）锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角. （）

（2）若sinα＞0，则α是第一或第二象限角. （）

（3）若sinα＝sinπ/7，则α＝π/7. （）

（4）－300°角与60°角的终边相同. （）

2.已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半径为（）

与2023°角的终边相同的最小正角是_________.

对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0与⑥tanθ＜0，选择恰当的关系式序号填空：

（1）θ为第一象限角的充要条件是______________；

（2）θ为第二象限角的充要条件是______________；

（3）θ为第三象限角的充要条件是______________；

（4）θ为第四象限角的充要条件是______________；

5.已知角α的终边经过点P（－2sin30°，－2cos30°），则sinα＝______.

三、小组合作，教师辅助

考点一角的概念及其表示

（1）终边在直线y＝√3x上的角的集合是__________________。

若角θ的终边与角6π/7的终边相同，则在区间[0，2π]上，终边与角θ/3

的终边相同的角的个数为_______。

已知角α的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边

界），则角α用集合可表示为___________.

考点二扇形的弧长与面积公式

例2（1）已知扇形的周长是4，则当扇形的面积最大时，扇形的圆心

角的弧度数是（）

（2）（多选）已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则下列结论正确

的是（）

A.扇形的半径可能为2cmB.扇形的半径可能为1cm

C.圆心角的弧度数可能为1D.圆心角的弧度数可能为2

考点三任意角的三角函数

考向1三角函数的定义

例3若角θ的终边经过点P（－√3，m）（m≠0），且sinθ＝√2/4m，

则cosθ的值为_________。

考向2三角函数值符号的判定

（1）若α为第四象限角，则下列结论正确的是（）

已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数的值域为_________

四、课堂小测（每题5分，共25分）?.

1.下列说法错误的是（）

A.－3π/4是第二象限角B.4π/3是第三象限角

C.－400°是第四象限角