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多种圆锥曲线综合高考题
在高考题中,往往会一题涉及多种圆锥曲线,包括椭圆、双曲线、抛物线。形式多样,现本人就该方面问题浅谈几例,望考生注意。
一、圆与抛物线
[例1]如图,已知抛物线E:y2?x 与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0) 相
交于
A、B、C、D四个点。
(Ⅰ)求r的取值范围
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P 的坐标。
二、圆与椭圆
[例2]已知A,B分别为曲线C:x2
a2
+y2=1(y?0,a0)与 x轴
的左、右两个交点,直线l过点B,且与x轴垂直,S为l上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆,点T为圆弧AB的三等分点,试求 出点
S的坐标;
(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在a,使得O,M,S三点共线?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。
三、圆与双曲线
[例3]已知双曲线C:x2
a2
y2b2
?1(a?0,b?0)的离心率为 3,右准线方程为x? 3
3
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x,y)(xy ?0)处的切线,l与双曲线C交
0 0 0 0
于不同的两点A,B,证明?AOB的大小为定值.四、抛物线与椭圆
[例4]在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和
(Ⅰ)求点P的轨迹C;
(Ⅱ)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。
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五、椭圆与双曲线
[例5]已知椭圆C:
1
y2?
a2
x2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0),过C
b2 1
的焦点且垂直长轴的弦长为1.
求椭圆C
1
的方程;
设点P在抛物线C:y?x2?h(h?R)上,C在点P处
2 2
的切线与C
1
交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中
点的横坐标相等时,求h的最小值.
六、多种综合型
[例6]在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点M(x,y)的轨迹为
E.
求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
已知m?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
4
且OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
1
(3)已知m? ,设直线l与圆C:x2?y2?R2(1R2)相切于A,且l与轨迹E只有一个公共点B,当R
4 1 1
为何值时,|AB|取得最大值?并求最大值.
11
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