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多种圆锥曲线综合高考题

在高考题中，往往会一题涉及多种圆锥曲线，包括椭圆、双曲线、抛物线。形式多样，现本人就该方面问题浅谈几例，望考生注意。

一、圆与抛物线

[例1]如图，已知抛物线E:y2?x 与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0) 相

交于

A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P 的坐标。

二、圆与椭圆

[例2]已知A,B分别为曲线C：x2

a2

+y2=1（y?0,a0）与 x轴

的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求 出点

S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

三、圆与双曲线

[例3]已知双曲线C:x2

a2

y2b2

?1(a?0,b?0)的离心率为 3，右准线方程为x? 3

3

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x,y)(xy ?0)处的切线，l与双曲线C交

0 0 0 0

于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值.四、抛物线与椭圆

[例4]在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和

（Ⅰ）求点P的轨迹C；

（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

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五、椭圆与双曲线

[例5]已知椭圆C：

1

y2?

a2

x2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C

b2 1

的焦点且垂直长轴的弦长为1．

求椭圆C

1

的方程；

设点P在抛物线C：y?x2?h(h?R)上，C在点P处

2 2

的切线与C

1

交于点M,N．当线段AP的中点与MN的中

点的横坐标相等时，求h的最小值．

六、多种综合型

[例6]在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点M(x,y)的轨迹为

E.

求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

已知m?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

4

且OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

1

(3)已知m? ,设直线l与圆C:x2?y2?R2(1R2)相切于A,且l与轨迹E只有一个公共点B,当R

4 1 1

为何值时,|AB|取得最大值?并求最大值.

11

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