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全国大学生数学建模竞赛参赛队数预测模型

第一部分问题重述

全国大学生数学建模竞赛的目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2010年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡和澳大利亚的1197所院校、17317个队（其中本科组14108队、专科组3209队）、5万多名大学生参加了本项竞赛。

（1）建立数学模型预测2011年参赛队数。

（2）定量评价该项赛事，并提出合理化建议。

第二部分问题分析

通过图1我们可以知道，全国大学生数学建模竞赛自开办以来参赛队伍的数量增长得很快。在过去短短的19年里，参赛的队伍数量从1992年的314队剧增到2010年的17317队，增长了约54倍！

但是，同时我们也应该知道近19年来，全国高校的办学规模越来越大，各学校的在校大学生数量也是越来越多。由图2可以看出。

图2

图2

因此，不可单纯通过参赛人数的增长来判定该项赛事的受欢迎程度。还必须考察参赛人数与在校学生数的比率情况。

图3

图3

通过图3可以看出，参赛人数占在校学生的比率是递增的。因此，我们可以判定，这项赛事在高校中是受欢迎的，每年的参赛人数是会不断增加的。由此我们假定存在一个参赛人数的年增长率。

下面，通过搜集历年参赛人数的数据，我们可以简单地算出历年参赛人数的年增长率，通过图4体现如下：

图4

图4

通过图4我们可以发现，在1997年之后，每年参加比赛的队伍数量的增长率变化不是很大。而在1997年之前，波动是比较大的。经调查，数学建模是20世纪80年代才被引进我国的，在90年代时期关于数学建模的宣传工作做得比较多，并且由于是刚刚引进不久所以造成的影响也比较大。例如：1992年11月28日?，中央人民广播电台午间半小时节目播出叶其孝教授撰写的“话说大学生数学建模竞赛”，这是我国新闻界首次报道全国性的该项活动。1993年12月4

通过以上的分析，我们发现参赛人数的年增长率是存在的，但是参赛人数又是否能够无限地增长下去呢？答案显然是否定的。首先，高校的办学规模不可能无限扩大下去，在校学生的人数必定会饱和的。其次，不是所有大学生都会参加这项赛事。由于学科的划分，像法学院、艺术学院、文学院等的学生参加比赛的可能性是极低的。并且，随着社会的发展，高校内的各种赛事会越来越多，学生们可选择的机会越来越大但是精力时间却是有限的。所以，当参赛人数的年增长率在一段时间之后应该会有所下降。我觉得，应该可以用1个减函数来描述参赛人数的年增长率。

综上所述，我认为，应该建立一个类似人口阻滞增长模型的数学模型来描述参赛人数的年增长情况，并以此来预测2011年参赛人数，进一步推算出参赛的队伍数量。

第三部分模型假设

参赛队伍严格服从3人一组的要求。

参赛人数不可能无限增长，存在一个上限。

由于各种赛事的增多和学生时间精力的有限，参赛人数的年增长率函数是一个减函数，随着参赛人数的增加，年增长率将会下降。

第四部分定义与符号说明

t来表示年份。如：当t=0表示1992年，当t=1表示1993年……当t=19表示2011年。

连续可微函数x（t）表示t年的参赛人数函数。如：x(0)=942表示1992年的参赛人数为942人。

连续函数r（x）表示参赛人数为x时的年增长率函数，设r（x）为x的减函数，即r（x）=r—sx（r0,s0）.r和s都为参数。

表示参赛人数上限，并且r（）=0，所以，s=

第五部分模型的建立与求解

记t时的参赛人数为x(t)，且参赛人数的年增长率为r(x)。因此，考虑t到t+Δt时间内人口的增量，显然有

x(t+Δt)-x(t)=r(x)x(t)Δt(1)

令Δt→0，得到x(t)满足微分方程

,x(0)=942(2)

由于以上对r(x)的一个简单的假定是，设r(x)为x线性函数，即

r（x）=r—sx（r0,s0）(3)

这里r称固有增长率，表示当参赛人数很少时（理论上是x=0）的增长率，为了确定s的意义，引入上述参赛人数上限，当x=时参赛人数不再增长，即r（）=0，代入(3)式得s=，于是(3)式可改写为