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绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题〔第1题～第20题，共20题〕。本卷总分值为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
棱锥的体积，其中为底面积，为高。
填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
集合，，那么▲．
答案：
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取▲名学生．
答案：
设，〔i为虚数单位〕，那么的值为▲．
答案：
〔第4题〕右图是一个算法流程图，那么输出的的值是
〔第4题〕
答案：
函数的定义域为▲．
答案：
现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，假设从这10个数中随机抽取一个数，那么它小于8的概率是▲．
答案：
如图，在长方体中，，，那么四棱锥的体积为▲．
DABC
D
A
B
C
D
A
B
C
〔第7题〕在平面直角坐标系中，假设双曲线的离心率为，那么的值为▲．
〔第7题〕
答案：
ABCEFD如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，假设，那么的值是▲．
A
B
C
E
F
D
答案：
〔第9题〕设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．假设，那么的值为▲．
〔第9题〕
答案：
设为锐角，假设，那么的值为▲．
答案：
在平面直角坐标系中，圆的方程为，假设直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，那么的最大值是▲．
答案：
函数的值域为，假设关于的不等式的解集为，那么实数的值为▲．
答案：
正数满足：那么的取值范围是▲．
答案：
解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
〔本小题总分值14分〕
在中，．
求证：；
假设求的值．
解：
〔1〕
∵
∴
∴
由正弦定理得：
∴
∴
〔2〕
∵，且
∴
∴
∴
又∵
∴
∴或
∵
∴，必为锐角，否那么，同时为钝角，这与三角形的内角和小于矛盾
∴
∴
∴
〔本小题总分值14分〕
如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点〔点D不同于点C〕，且为的中点．
求证：
平面平面；
直线平面．
证明：
〔1〕
∵三棱柱是直三棱柱
∴
∵
∴
∵，且
∴
∵
∴
〔2〕
∵，
∴
∵直三棱柱中，
∴
∴是的中点
∵是的中点
∴，且
∴四边形是平行四边形
∴
∵，
∴平面
〔本小题总分值14分〕
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k
求炮的最大射程；
x〔千米〕y〔千米〕O
x〔千米〕
y〔千米〕
O
〔第17题〕
解：
〔1〕
∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标
∴令，那么炮的射程可表示为
∴炮的最大射程即的最大值
由题意得，
∴，当且仅当时，等号成立
∴炮的最大射程是。
〔2〕
∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a
∴飞行物的坐标为
∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程
∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：
∴关于的方程在上有解
∴有正根
∵
∴只需
∴
即只需要不超过即可。
〔本小题总分值16分〕
a，b是实数，1和是函数的两个极值点．
求a和b的值；
设函数的导函数，求的极值点；
设，其中，求函数的零点个数．
解：
〔1〕
∵1和是函数的两个极值点
∴1和是方程的两个根
由韦达定理得
，
∴，
〔2〕
∵函数的导函数
∴令
解得，
①当时，，当时，，
∴不是的极值点
②当时，，当时，，
∴是的极大值点
〔3〕
令，那么
讨论关于的方程的根的情况
当时，由〔2〕得的两个不同的根为和，注意到是奇函数，所以的两个不同的根为和。
当时，因为，
所以都不是的根，由〔1〕知
当时，，于是是单调递增函数，从而，此时无实根，同理，在上无实根。
当时，，于是是单调递增函数，又，，的图像不间断，所以在内有唯一实根，同理，在内有唯一实根。
当时，，故是单调减函数，又，，的图像不间断，所以在内有唯一实根。
由上可知，当时，有两个不同的根，满足，；
当时，有三个不同的根，，满足；
现考虑
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