备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题34掌握直线方程的基本类型.docVIP

专题34驾驭直线方程的基本类型

【考点预料】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．

当时，直线平行于轴或与轴重合；

当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；

二、基本公式

1、两点间的距离公式

2、的直线斜率公式

3、直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率存在且过，

注：①当时，；②当不存在时，

（2）斜截式：直线的斜率存在且过，

（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．

注：可表示经过两点的全部直线

（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．

（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定．

两直线方程

平行

垂直

（斜率存在）

（斜率不存在）

或

或中有一个为0，另一个不存在．

四、三种距离

1、两点间的距离

平面上两点的距离公式为．

特殊地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离

2、点到直线的距离

点到直线的距离

特殊地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离

3、两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．

（2）设，则与之间的距离

注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．

【典例例题】

例1．（2024春·广东·高三统考开学考试）设，则“”是“直线与直线平行”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若直线与直线平行，

则，解得或，

经检验或时两直线平行．

故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”

故选：A

例2．（2024·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（????）

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，

，，

直线与线段相交，直线的斜率或.

故选：A.

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知两点到直线的距离相等，则（????）

A．2 B． C．2或 D．2或

【答案】D

【解析】（1）若在的同侧，

则，所以，，

（2）若在的异侧，

则的中点在直线上，

所以解得,

故选:D.

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，

直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，

所以，，解得.

故选：C.

例5．（2024·全国·高三专题练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（????）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.

故选：D

例6．（2024春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则___________．

【答案】5

【解析】直线的斜率为，

因为倾斜角为的直线与直线垂直，所以解得，

所以，则.

故答案为：.

例7．（2024·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，则，

为钝角，，则，解得：，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

例8．（2024·高三课时练习）已知点，若直线l过点，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的方程为______.

【答案】或

【解析】依题意，到直线的距离相等.

的中点为，

当过以刚好，

直线的方程为.

直线的斜率为，

当直线过并与平行时，

直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

故答案为：或

例9．（2024·上海静安·统考一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________．

【答案】

【解析】由直线与直线平行，

可知，即，

故直线为，

直线变形得，

故，

故答案为：.

例10．（2024·全国·高三专题练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．

【答案】8x－y－24＝0

【解析】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)，

的坐标分别是.

因为被点平分，所以

，

于是.???????????????????????????

由于在上，在上，所