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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合,,则集合的子集个数为(????)
A.2 B.4 C.8 D.16
2.设数列为等比数列,若,,则(????)
A. B. C. D.
3.已知平面向量,,则向量在向量上的投影向量为(????)
A. B. C. D.
4.已知,均为锐角,,,则的值为(????)
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左右焦点分别为,,为椭圆上一点,且直线的一个方向向量为,则椭圆的离心率为(????)
A. B. C. D.
6.将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作,每个景点安排2人,其中甲、乙不能安排去同一个景点,不同的安排方法数有(????)
A.84 B.90 C.72 D.78
7.设,,,则(????)
A. B. C. D.
8.已知函数,,若函数有8个零点,则正数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.根据国家统计局统计,我国2018-2023年的出生人口数(单位:万人)分别为:1523,1465,1202,1062,956,902,将年份减去2017记为x,出生人口数记为y,得到以下数据:
x
1
2
3
4
5
6
y(单位:万人)
1523
1465
1202
1062
956
902
已知,由最小二乘法求得关于的经验回归方程为,则(????)
A.
B.这6年出生人口数的下四分位数为1465
C.样本相关系数
D.样本点的残差为55
10.已知菱形的边长为2,,E,F,G分别为AD、AB、BC的中点,将沿着对角线AC折起至,连结,得到三棱锥.设二面角的大小为,则下列说法正确的是(????)
A.
B.当平面截三棱锥的截面为正方形时,
C.三棱锥的体积最大值为1
D.当时,三棱锥的外接球的半径为
11.已知函数,对任意的实数x,y都有成立,,,则(????)
A.为偶函数 B.
C. D.4为的一个周期
三、填空题
12.已知为虚数单位,则的共轭复数为.
13.在中,内角的对边分别为,若且,则面积的最大值为.
14.抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于A、B两点,抛物线在A、B处的切线交于点,则的最小值为.
四、解答题
15.如图,在圆锥中,为圆的直径,为圆弧的两个三等分点,为的中点,;
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16.某企业使用新技术生产某种产品,该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序,生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测,智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.
(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测,求这件产品中的次品数的分布列和数学期望;
(2)若智能自动检测的准确率为,求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.
17.已知函数,其中.
(1)若,求在处的切线方程;
(2)当时,设.求证:存在极小值点.
18.定义:对于一个无穷数列,如果存在常数,对于任意给定的正数,总存在正整数,使得对于任意大于的正整数,都有.则称常数为数列的极限,记作.根据上述定义,完成以下问题:
(1)若,,判断数列和是否存在极限;如果存在,请写出它的极限(不需要证明);
(2)已知数列的前项和为,,数列是公差为的等差数列;
①求数列的通项公式;
②若.证明:
19.已知平面内两个定点,,满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线,直线与曲线交于不同两点;
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若直线和的斜率之积为,求证:直线过定点;
(3)若直线与直线分别交于,求证:.
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参考答案:
1.C
【分析】先求解出集合,然后求解出的子集个数.
【详解】因为,所以,
即,
所以,
所以的子集个数为8.
故选:C.
2.D
【分析】根据条件得到,再利用等比数列的通项公式,即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列,设公比为,
因为,,所以,得到,
又,当时,,当时,,
故选:D.
3.A
【分析】利用投影向量的定义求解即可.
【详解】向量,
则向量在向量上的投影向量是
.
故选:A.
4.B
【分析】根据条件,利用平方关系得到,,构角,利用余弦的和角公式,即可求出结果.
【详解】因为,
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