曲线的标准展开课件.pptVIP

§1.6曲在一点的准展开

一．曲的局部范形式按照Taylor展开式的基本思想，曲的位置向量函数在所指定的任意点近都可以用适当次数的多式向量函数来逼近．C弧s参数化曲C:r?r(s)，任取其上一点3P:r(s)，不妨s?0，有Peano余形式的Taylor0展开式00其中余o(s)是s的高无小向量．33若C无逗留点，上式可用Frenet架表出．事上，{r(0);T(0),N(0),B(0)}?{r;T,N,B},?(0)??,00000?(0)??，易知有0

一．曲的局部范形式C3弧s参数化曲C:r?r(s)，任取其上一点P:r(s)，不妨s?0，有Taylor展开式000若C无逗留点，上式可用Frenet架表出．事上，{r(0);T(0),N(0),B(0)}?{r;T,N,B},?(0)??,00000?(0)??，易知有0(5.2)r?(0)?T,r?(0)??N，000r??(0)???(0)N??[??T?000000?B]．此式明：通性无关向量{r?(s),r?(s),r??(s)}范的Schmidt正交化，所得到的准位正交基上就是Frenet架基向量{T(s),N(s),B(s)}．

一．曲的局部范形式C3弧s参数化曲C:r?r(s)，任取其上一点P:r(s)，不妨s?0，有Taylor展开式000若C无逗留点，(5.2)r?(0)?T,r?(0)??N，000r??(0)???(0)N??[??T?000000?B]．取{r;T,N,B}E的一个新的位正交右手架，30000所建立的新直角坐系坐(x*,y*,z*)，曲C的参数方程化r*?r*(s)?(x*(s),y*(s),z*(s))?x*(s)T+y*(s)N+z*(s)B000其中r*(s)?r(s)?r．0

一．曲的局部范形式(5.2)r?(0)?T,r?(0)??N00,r??(0)???(0)N??[??T?000000?B]．0r*?r*(s)?r(s)?r0?(x*(s),y*(s),z*(s))?x*(s)T+y*(s)N+z*(s)B．000由此，将(5.2)式代入(5.1)式，C的分量形式即

一．曲的局部范形式其中余ox(*s333)分是s的高无3),o(s),o(sy*z*小.此式称曲C在点P的准展开或局部范形式，0或称Bouquet公式．曲，其局部范形式的主要部分确定了一条三次多式曲——曲C在P点的局部近似曲：0C*:`r*(s)?(s,(?/22)s,(??/63)．)s000

二．曲的局部近似曲C在P点的局部近似曲C*:0)s,(??/6)s)．`r*(s)?(s,(?/223000直接算表明，其位置向量的数在P点与曲C具有0相同的取．一步，曲C*与曲C在P点具有相同的Frenet架以及相同的曲率和率（）；0明它的几何行在P点附近也是很接近的0——在P点的局部近似．0注意：曲C*与曲C的弧参数并不一定一致（），只是上述各取相同之一定包含着所考的点P而已．0

二．曲的局部近似曲C在P点的局部近似曲C*:0)s,(??/6)s)．`r*(s)?(s,(?/223000曲C*与曲C的弧参数并不一定一致．但无如何，从逼近的角度去看，近似曲的局部形状已足以反映出原有曲的局部形状．察近似曲C*在P点附0近的形，可以通察其向Frenet架坐面上的投影曲形而行，从而得到其基本特征．

曲的局部近似形2)s,(??/6)s)．3000C*:`r*(s)?(s,(?/2察近似曲C*在P点附近的形，可以通0其向Frenet架坐面上的投影曲的形而行，从而得到其基本特征．向密切平面上的投影曲抛物

曲的局部近似形2)s,(??/6)s)．30向从切平面的投影曲立方抛物00C*:`r*(s)?(s,(?/2向法平面的投影曲立方抛物

曲的局部近似形2)s,(??/6)s)．3000C*:`r*(s)?(s,(?/2后面二者的平面形走向然与率的符号有关；其立体投影形也可以仿照2-8做出（自己．似于2-7所示的局部情形，当?0，近似曲0和