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王新敞第三章数列(第
王新敞
第三章数列(第8课时)
高中数学教案
第PAGE
第PAGE1页(共5页)
新疆奎屯市一中
课 题:3.4等比数列(二)
教学目的:
灵活应用等比数列的定义及通项公式.
深刻理解等比中项概念.
熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点:等比中项的理解与应用
教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:
一、复习引入:
首先回忆一下上一节课所学主要内容:
等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比
a
通常用字母q表示(q≠0),即:a
等比数列的通项公式:
n =q(q≠0)
n?1
a ?a
n 1
qn?1(a
1
q?0),a
n
?a ?qn?m(a
m m
q?0)
{a
n
a
}成等比数列? n?1
a
=q(n?N?,q≠0)
n
“a≠0”是数列{a}成等比数列的必要非充分条件
n n
既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.
二、讲解新课:
等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,
ab那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± (a,b同号)
ab
ab如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,则
ab
G?b
?G2?ab?G?? ,
a G
反之,若G2=ab,则G?b,即a,G,b成等比数列
a G
∴a,G,b成等比数列?G2=ab(a·b≠0)
等比数列的性质:若m+n=p+k,则aa ?aa
m n p k
在等比数列中,m+n=p+q,a ,a,a,a有什么关系呢?
m n p k
由定义得:a
m
?aqm?1 a
1 n
?aqn?1 a
1 p
?aqp?1 a
1 k
?a?qk?1
1
a ?a
m n
?a2qm?n?2 ,a ?a
1 p k
?a2qp?k?21
则aa
m n
?aa
p k
判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法
等比数列的增减性:当q1, a
1
0或0q1, a
1
0时,{a
n
}是递增数
列;当q1, a
1
0,或0q1, a
1
0时,{a
n
}是递减数列;当q=1时,{a
n
}是常
数列;当q0时,{a}是摆动数列;
n
三、例题讲解
例1已知:b是a与c的等比中项,且a、b、c同号,
,ab?bc?
,
ab?bc?ca,3
3abc
求证:
3
也成等比数列
证明:由题设:b2=ac 得:
a?b?c?
?a?b?c?
ab?b2?bc
3b3ab?bc?ca
3b3
ab?bc?ca
3
3abc3 3 3
3abc
,ab?bc?
,
ab?bc?ca,3
∴
3
也成等比数列
3abc例2已知?
3abc
n
?,?b
n
?是项数相同的等比数列,求证?a
n
?b?是等比数列.
n
证明:设数列?a
n
?的首项是a
1
,公比为q
1
;?b
n
?的首项为b
1
,公比为q,
2
那么数列?a ?b?的第n项与第n+1项分别为:
n n
a?q
n?1?b
qn?1与a
qn?b
qn即为ab
)n?1与ab
(qq)n
1 1 1 2 1 1 1 2
a ?b ab(qq)n
11 1 2
11 1 2
?n?1 n?1???11 1 2 ?qq.
a ?b ab(qq
)n?1 1 2
n n 11 1 2
它是一个与n无关的常数,所以?a?b?是一个以qq
为公比的等比数列.
n n 12
例3 (1)已知{a}是等比数列,且a ?0,
n n
求a ?a
3 5
a a ?2aa ?aa ?25,
2 4 3 5 4 6
a?c
(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列,a2,1,c2成等比数列,求
解:(1)∵{a}是等比数列,
n
∴a a+2a
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