《第六章》实数基础知识总结（解析版）.docxVIP

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《第六章》实数基础知识总结

单元思维导图

单元知识点解读

知识点1：实数

1.有理数：任何有限小数或者无限循环小数都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。

3.实数：有理数和无理数统称实数。

4.设a表示实数，则a的相反数是-a

|a|≥0

当a0时，|a|=a

当a=0时，|a|=0

当a0时，|a|=-a

知识点2：实数及其分类总结

知识点3：平方根

1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“EQ\R(\S\DO(),a)”。

2.平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±EQ\R(\S\DO(),a)”（a称为被开方数）。

3.正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

4.平方根和算术平方根的区别与联系：

区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。

联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。

5.平方表：（自行完成）

12=

62=

112=

162=

212=

22=

72=

122=

172=

222=

32=

82=

132=

182=

232=

42=

92=

142=

192=

242=

52=

102=

152=

202=

252=

知识点4：立方根

1.立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“EQ\R(\S\DO(3),a)”（a称为被开方数）。

2.正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3.求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

4.立方根与平方根的区别：

一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.

单元考点类型题例题解析

考点1：算术平方根

【例题1】求下列各数的算术平方根：

(1)64；(2)2eq\f(1,4)；(3)0.36；(4)eq\r(412－402).

【答案】（1）8（2）3/2（3）0.6（4）3

【解析】根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．

(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；

(2)∵(eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)＝2eq\f(1,4)，∴2eq\f(1,4)的算术平方根是eq\f(3,2)；

(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；

(4)∵eq\r(412－402)＝eq\r(81)，又∵92＝81，∴eq\r(81)＝9.而32＝9，∴eq\r(412－402)的算术平方根是3.

方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求eq\r(81)与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑；(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

【例题2】3＋a的算术平方根是5，求a的值．

【答案】22

【解析】先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.

因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.

方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

【例题3】计算：eq\r(49)＋eq\r(9＋16)－eq\r(225).

【答案】-3

【解析】首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．

eq\r(49)＋eq\r(9＋16)－eq\r(225)＝7＋5－15＝－3.

方法总结：解题时容易出现如eq\r(9＋16)＝eq\r(9)＋eq\r(16)的错误．

【例题4】已知x，y为有理数，且eq\r(x－1)＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．

【答案】-1

【解析】算术平方根和完全平方都具有非负性，即eq\r(a)≥0，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1.

方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方都具有非负性，即eq\r(a)≥0，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.

【例题5】估算eq\r(19)－2的值()

A．在1和2之间B．在2和3之间

C．在3和4之间D．在4和5之间

【答案】B

【解析】因为421952，所以4eq\r(19)5，所以2eq\r(