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1、在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量.
向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2 0
2 0
、长度为零的向量称为零向量,记为 .零向量的方向不确定,是任意的.
3、模长为1的向量叫做单位向量.
? a?
4、长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量.a的相反向量记为-
5 a b?
5 a b
、长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量.若向量 与向量 相等,
记为a?=b?
。零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间
中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。
6、空间向量的运算。
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下。
O??B??
?O??A????A?B??
?a??b? ?B?A??
?O??A???O??B??
?a??b?
O??P??
??a?(??R)
?运算律:
?
a
⑴加法交换律:
b?
?b?
a?
⑵加法结合律:
(a?
?b?)?c?
?a?
?(b?
?c?)
⑶数乘分配律:?(a?
?b?)??a?
??b?
7、共线向量
(1)共线向量定义:若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,
则这些向量叫做共线向量,也叫做平行向量。若a?
与b?
是共线向量,则
a?//b?
记为
。零向量和空间任一向量是共线向量。
(2 a b b 0 a b? ? ?
(2 a b b 0 a b
)共线向量定理:对空间任意两个向量 、 ( ≠ ), // 的充要条
使 =件是存在实数λ a? λ b
使 =
空间向量与立体几何. 1
(3)空间直线的向量表示式
如果直线
如果直线l是经过已知点A a
且平行于已知非零向量 的直线,那么对
任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式
???? ???? ? a?
OP?OA?ta,其中向量
注意:
叫做直线l的方向向量.
????? ?
?
①若在l上取AB a,则有
???? ???? ???? ???? ???? ????? ????? ???? ?????
OP?OA?tAB,?OP?OA?tOB?OA?(1?t)OA?tOB
②上式可解决三点P、A、B共线问题的表示或判定.
1 ???? 1???? 1????
t? OP? OA? OB
③当 2时, 2 2 ,点P为AB的中点,这是中点公式的向量
表达式.
,则???? 1 ???? ? ????
,则
????④若P分AB所成比为?
????
OP?1??OA?1??OB
三点共线:
A、B、C三点共线=
AB ? ? AC
=OC
a
? xOA ? yOB(其中x? y?1)
? a
a
与
共线的单位向量为
8、共面向量
(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。或平行于同一平面的向量叫做共面向量.空间任意的两向量都是共面的。
9、共面向量定理
? ? ?? ? ?
若两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实
??? ? ?
?
数对x、y,使得p=xa yb。
10、四点共面:若A、B、C、P四点共面=
AP?xAB?yAC
=OP
?xOA?yOB?zOC(其中x?y?z?1)
空间向量与立体几何. 2
11、空间向量基本定理:如果三个向量
a?,
b,c
yb。不共面,那么对空间任一向量
yb
。
? ?p?
? ?
x,y,z,使p?
?xa??
??zc?
推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的
三个有序实数
x,y,z
???? ???? ???? ????
? ? ?,
? ? ?
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底.
(2
(2 0
)由于 可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,
0?
0
所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
由空间向量的基本定理知,若三个向量
??? ?? ? ? ?
a?,
b,c
?
? ?
不共面。那么所有空间向
?
? ?
p|p?xa?yb?zc,x,y
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