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2023-2024学年福建省泉州市晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学高一(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z=2i,则
A.z2=2 B.z2=?4 C.
2.如图,则a?b=(????)
A.2e1?3e2 B.?2e
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=4,a=42,A=π4,则
A.π6 B.π6或5π6 C.π3
4.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形,则圆锥的侧面积是(????)
A.42π B.4π C.2
5.某地新建了一处云顶观景塔,引来广大市民参观,张同学在与塔底水平的A处,利用无人机在距离地面22m的C处观测塔顶的俯角为30°,在无人机正下方距离地面2m的B处观测塔顶仰角为60°,则该塔的高度为(????)
A.15m
B.(153+2)m
C.17m
6.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则下列判断中正确的个数是(????)
(1)M,N,K三点共线;
(2)P,N,M,C四点共面;
(3)BC//NK.
A.0
B.1
C.2
D.3
7.已知正三角形ABC的边长为4,D是BC边上的动点(含端点),则(DA+DB)?(
A.[4,12] B.[4,20] C.[8,20] D.[8,24]
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为△ABC的外心,D为BC边上的中点,c=4,AO?AD=5,sinC+sinA?4sinB=0,则cosA=
A.32 B.12 C.1
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.在空间中,下列命题正确的是(????)
A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点
B.若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线
C.若点A既在平面α内,又在平面β内,且α与β相交于直线b,则点A在b上
D.用任意平面截一个圆锥,夹在这个平面和底面间的几何体是圆台
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a:b:c=2:3:4,则下列结论正确的是(????)
A.sinA:sinB:sinC=2:3:4
B.△ABC是锐角三角形
C.若c=8,则△ABC内切圆半径为153
D.若c=8,则△ABC
11.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,已知M,N,P分别是棱C1D1,AA1
A.PQ/?/平面ADD1A1
B.若Q,M,N,P四点共面,则λ=14
C.若λ=13,点F在侧面BB1C1C内,且A1F/?/平面APQ,则点F的轨迹长度为133
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量a=(3,1),b=(1,?1),c=a+kb
13.在边长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点M是该正方体表面及其内部的一动点,且BM/?/平面AD
14.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切,圆台的侧面积为36π,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=bi(b∈R),z+31?i是实数.
(1)求复数z;
(2)设w=z2+z?+5,求|w|;
(3)
16.(本小题15分)
已知点P为△ABC中边AB上一点,BP=23BA.
(1)设CP=xCA+yCB,求(x?y)的值.
(2)设|CA|=6,|CB|=3,
①若|CP|=2,∠ACP=π6
17.(本小题15分)
如图,在平面四边形ABCD中,已知A=π2,B=2π3,AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=2π3,EC=7.
(Ⅰ)求sin∠BCE的值;
18.(本小题17分)
如图所示正四棱锥S?ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=2,P为侧棱SD上的点,且SP=3PD,求:
(1)正四棱锥S?ABCD的表面积;
(2)若M为SA的中点,求证:SC//平面BMD;
(3)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC.若存在,求SE
19.(本小题17分)
如图,在△AOB中,已知|OA|=2,|OB|=23,∠AOB=90°,单位圆O与OA交于C,AD=λAB,λ∈(0,1),P为单位圆O上的动点.
(1)当λ=12时,求|PD|的最小值;
(2)若OC+OP
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