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空间向量与立体几何
一.选择题
? ?
? ? ? ?
a?b? ? a??b??c? ?c???b??a? ?b??
a?b
①已知 ,则 ;
?B?A??,?B?M???,?B?N??
②A、B、M、N为空间四点,若 不构成空间的一个基底,则A、B、M、
N共面;
③已知a??b?,则a?,b?与任何向量不构成空间的一个基底;
?a?,b?,c??
④已知 是空间的一个基底,则基向量
a?,b?可以与向量m???a???c构成空间另
一个基底.
正确命题个数是(
)
A.1
B.2 C.3
D.4
2.如图,在平行六面体ABCD—A
BCD中,M为AC与BD的交点.若AB
=a,
111 1 1 1
AD=b,AA=c,则下列向量中与BM相等的向量是
1 1 1 1
A.-
1 1 1 1
a+ b+c B. a+ b+c
2 2 2 2
1 1 1 1
C. a- b+c D.- a- b+c
2 2 2 2
3.设OA?(1,1,?2),OB?(3,2,8),OC?(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为
135353A. B. C. D.53
13
53
53
2 2 4
a?,b?
134、已知 均为单位向量,它们的夹角为60?,那么
13
a??3b?
4
等于( )
710A. B.
7
10
二.填空题
C. D.4
5、已知向量a?
为 .
?(3,5,1),b?
?(2,2,3),c?
?(4,?1,?3),则向量2a??3b??4c?
的坐标
6、已知a?(x,2,0)
,
b?(3,2?x,x2),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是
7、已知向量a?
?(2,?1,3),b?
?(?4,2,x),若a??b?,则x???;
若a?//b?则x???。三.解答题
8、如图,已知点P在正方体ABCD-ABCD的
对角线BD上,∠PDA=60°.
1
1111
z
1求DP与CC
1
所成角的大小;
1 1求DP与平面AADD所成角的大小
1 1
D? C
?H
?
?A? B
?
P
CD
C
y
A B
x
9、三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为ABC,
11 1
BD 1
32?BAC?90?,AA?平面ABC,AA? ,AB? ,AC?2,AC ?1, ? .
3
2
1 1 1 1
DC 2
A1C11AD(Ⅰ)证明:平面
A
1
C
1
1
A
D
1 11
B
(Ⅱ)求二面角A?CC
1
B的平面角的余弦值.
C
B
10.如图,已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2。
求证:C1D//平面ABB1A1;
求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D—A1C1—A的余弦值。
空间向量答案
1.C2.A 3.B 4.C 5.(16,0,-19) 6.x<-4 7.
10,-6
3
zD?A?HC?PB?DCyAB8解:如图,以
z
D?
A?
H
C?
P
B?
D
C
y
A
B
?????(1,0,0),???????(0,0,1).连结BD,B?D?.
DA CC
在平面BB?D?D中,延长DP交B?D?于H.
?????
?????????
设DH?(m,m,1)(m?0),由已知?DH,DA??60?,
由????????? ????????? ?????????
DA?DH?DADHcos?DA,DH?
2x
2
可得2m? 2m2?1.解得m? ,
2
2????? ? ?
2
??????????
?0? ?0?1?1
22221? 22, ,1?所以DH?? 2 .(Ⅰ)因为cos?DH,CC
2
2
2
2
1? 2
2
, ,1?
? 2 2 ? 2
DH,CC所以??????????????45?.即DP与CC?所成的角为45
DH,CC
DC(Ⅱ)平面AA?D?D的一个法向量是?????(0,1,0).
DC
????????
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