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高中数学教案第8
高中数学教案
第8章圆锥曲线方程（第16课时）
王新敞
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新疆奎屯市第一高级中学
课 题：8．6抛物线的简单几何性质（二）
教学目的：
掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；
在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：
标准方程图形顶点
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
y
y2
?2px
?
p?0
?
?0,0?
x轴
?p
O
F
x
?
?2
,0?
?
?
x??
p
2
e?1
l
y
y2
??2px
?
?
?
?
p?0
?
F
O
x
0,0
?
x轴
??
?
p
2
,0?
?
x?
p
2
e?1
l
x2
?2py
?
p?0
?
?0,0?
y
轴
?
?0, ?
2
p?
?
?
y??p
2
e?1
x2
??2py
?
?0,0?
轴
?
p?0
?
y
?0,
?
p?
?
2
y?
?
p
2
e?1
注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
二、讲解新课：
抛物线的焦半径及其应用：
定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：
2抛物线y2?2px(p?0)，PF?x ?p
2
0
? p?x
2 0
p2抛物线y2??2px(p?0)，PF?x ? ?
p
2
0
p?x
2 0
2抛物线x2?2py(p?0)，PF ? y ?p
2
0
? p?y
2 0
抛物线x2??2py(p?0)，PF? y ?
0
? p?y
p22 0
p
2
直线与抛物线：
位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于y2?2px(p?0)
当直线为y?y0，即k?0，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当k?0，设l:y?kx?b
将l:y?kx?b代入C:Ax2
?Cy
2?Dx?Ey?F?0，消去y，得到
关于x的二次方程ax2?bx?c?0 （*）
若??0，相交；??0，相切；??0，相离综上，得：
?y?kx?b
2联立? ，得关于x的方程ax2
2
?y ?2px
bx?c?0
当a?0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当a?0，则
若??0，两个公共点（交点）
??0，一个公共点（切点）
??0，无公共点 （相离）
相交弦长：
?1?k2a弦长公式：d? ，其中a和?分别是ax2?bx?c
?
1?k2
a
次项系数和判别式，k为直线l:y?kx?b的斜率
当代入消元消掉的是y时，得到ay2?by?c?0，此时弦长公式相应的变为：
?1
?
1?
a
1
k2
焦点弦：
定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式：设两交点A(x,y
1 1
)B(x,y
2 2
)，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
抛物线y2?2px(p?0)，AB?p?(x ?x)
1 2
抛物线y2??2px(p?0)，AB?p?(x ?x)
1 2
当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：
抛物线x2
抛物线x2
?2py(p?0)，AB?p?(y ?y)
1 2
??2py(p?0)，AB?p?(y ?y)
1 2
通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：d?2p
若已知过焦点的直线倾斜角?
?
则?y?k(x?
则
?
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