高二数学优质课公开课3.1.1 数系的扩充和复数的概念.pdf

3.1.1数系的扩充和复数的概念

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1.了解数系的扩充过程.

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法.

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1.数系扩充的一般原则是什么?

剖析:数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数

系→复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C.

一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则:

(1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集;

(2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性

质(如运算定律)依然适用;

(3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变;

(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.

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2.如何理解虚数单位i?

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剖析:在实数集中,有些方程是无法求解的.例如x+10,为解决解

方程的需要,人们引进一个新数i,叫做虚数单位,且规定:

2

(1)它的平方等于-1,即i-1.

(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.

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由于i0与实数集中a≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中的很多结论

在复数集中不再成立.

注意:复数没有大小之分,但有相等与不相等之分.

3.如何理解复数的分类?

剖析:(1)复数写成代数形式za+bi(a,b∈R)后,才可以根据实部、

虚部分类.

(2)各类特殊的复数可由实部、虚部所满足的条件确定,应用时由

此列出方程或不等式(组)即可.

(3)准确把握复数集中各子集间的关系,有利于对复数概念的理解.

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题型一题型二题型三题型四

复数的概念和性质

【例1】判断下列说法是否正确:

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(1)当z∈C时,z≥0;

(2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;

(3)若ab,则a+ib+i.

分析:解答本题要严格按照复数的有关概念和性质进行判断.

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解:(1)错误.当且仅当z∈R时,z≥0成立.

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若zi,则z-10.

(2)错误.当a-1时,(a+1)i(-1+1)i0·i0∈R.

(3)错误.两个虚数不能比较大小.

反思数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如两数

大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍

成立.

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