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1.3.1函数的单调性与导数
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1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
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1.如何理解函数的单调性与导数的关系?
剖析:(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,先要确定函数的
定义域,再在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间.
(3)若函数在某个区间内恒有f(x)0,则f(x)在此区间内为常数函
数.如f(x)3,则f(x)30.
(4)利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数在研究曲线变化
规律中的一个应用,它充分体现了数形结合思想.
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2.求可导函数单调区间的一般步骤是什么?
剖析:第一步,确定函数f(x)的定义域.
第二步,求f(x),令f(x)0,解此方程,求出它在定义域内的一切实根.
第三步,把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面
的各实根按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的
定义域分成若干个小区间.
第四步,确定f(x)在各个小区间内的符号,根据f(x)的符号判定函
数f(x)在每个相应小区间内的增减性.
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3.已知函数是增函数(或减函数),如何求参数的取值范围?
剖析:“f(x)0(或f(x)0)”是“函数递增(或递减)”的充分条件,但这
个条件并不是必要的.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)内递增(或递
减)的充要条件是f(x)≥0(或f(x)≤0)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子
区间内都不恒等于0.这就是说,函数f(x)在区间上的单调性并不排斥
在区间内个别点处有f(x)0,甚至可以在无穷多个点处f(x)0,只
00
是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函
数f(x)是增函数(或减函数)的条件下求参数的取值范围时,应令
f(x)≥0(或f(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式
恒成立来求解),然后检验参数的取值能否使f(x)在所给区间的任何
一个子区间不恒为零,从而求得参数的取值范围.
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目标导航重难聚焦典典例例透透析析
题型一题型二题型三题型四
利用导数信息判别函数图象
【例1】已知函数yf(x)与其导数f(x)满足如下条件:
④f(x)有唯一的一个负零点.
试画出函数yf(x)的大
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