高中数学立体几何建系设点专题.pdfVIP

2009-2010学年高三立几建系设点专题

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只

需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键

步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、建立空间直角坐标系的三条途径

途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有

一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

例1（湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P－ABCD与

Q－ABCD的高都为2，AB＝4．

（1）证明：PQ⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到平面QAD的距离．

简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直

线CA、、DBQP为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得

uuuruuur

uuuruuuruuuruuurAQgPB1

AQ(22、、0、、、2)PB(0222)，cosAQ、PBuuuruuur．所求异面直线

AQPB3

1

所成的角是arccos．

3

uuuruuur

（3）由（2）知，点D(0、、、、、2、、、20)AD(22220)PQ(004)．

uuur



ngAQ0、2xz0、



设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则uuur得取x＝1，得

xy0、

ngAD0、





uuur

PQgn

n=(1、、12)．点P到平面QAD的距离d22．

n

途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂

直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．

例2（全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱ABCABC中，AB＝BC，D、E分别为

111

BB、AC