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第一章 习题一
1、电量Q相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲
使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q＝－(1+2的点电荷。
2)Q/4
2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。
3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E：(C)(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小
4、两个电量均为+q的点电荷相距为2a，O为其连线的中点，求在其中垂线上场
?
强具有极大值的点与O点的距离R。 E
? ?
1 q 1 q E E
解法一：E ?E
1 2
?
4πε
?
r2 4πε
R2?a2
2 θ 1
P?
P
0 0
? ? ?
E?E
1
E ，E?E
2 1
cosθ?E
2
cosθ?2E
1
cosθ
r θ r
4πε0R2
4πε
0
R2?a2
R2?a2
R ? q ? R ? R
2πε0 R2?a2
3/2
+q● O
●+q
dE q a2
?2R2 2a
E有极值的条件是： ?
? ? ?0
dR 2πε0 R2?a2
5/2
即a2?2R2?0，解得极值点的位置为：R? 2a
93
9
3πεa4
0
d2EdR2∵ d
d2E
dR2
3qR
?2R2?3?a2 ，而
?? 8q ?0
R? 2a/2dR2 2πε0 R2
R? 2a/2
2∴中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离为R? a
2
2
23 3πεa2且 E ? q ? a/ ?
2
3 3πεa2
max
2πε
0
a2/2?a2
3/2
0
1 q 1 q
? ? ?
解法二：E ?E ? ? sin2θ，E?E ?E
1 2 4πε r2
0
4πε a2 1 2
0
E?Ecosθ?E cosθ?2E
cosθ?
1 qsin2θcosθ
1 2 1
1 q
2πε a2
0
?
2πε
0
(cosθ?cos3θ)
a2
dE q
E有极值的条件是：
?
dθ 2πεa2
0
(2sinθ?3sin3θ)?0
E有极值时的θ满足：sinθ
1
?0，cosθ
1
?1； sinθ ?
2
cosθ ? 1
32，
3
2
，
3
? ? ?
? ? ? ?
(2cosθ 9sin2θcosθ) (9cos3θ 7cosθ)
dθ2
2πεa2
0
2πεa2
0
? ? ? ?
? ? ? ?
(9cos3θ 7cosθ) 0
dθ2
θ?θ1
2πεa2
0
1 πεa20
? ? ?? ?
? ? ?? ?
(9cos3θ 7cosθ) 0
dθ2
θ?θ2
2πεa2
0
2 3πεa2
0
可见θ=θ时，E有极大值。由cotθ?R
?cosθ
得R?
cosθa
2
∴E有极大值时R?
cosθ
2
sinθ
a? 2a
2
a sinθ
sinθ
而E ?
2
? ?
? ?
3 3πεa2(cosθ cos3
3 3πεa2
max
2πε a2 2 2
0 0
5、内半径为R，外半径为R的环形薄板均匀带电，电荷面密度为σ，求：中垂
1 2
线上任一P点的场强及环心处O点的场强。
R·
R·1
R
2O
r
●
P
X
E? Qx
4??
(x2
0
?R2)3/2
任取半径为r，宽为dr的圆环，其电量为
dq= ds=2 r dr
圆环在P点产生的场强为：dE? xdq
? σxrdr
4πε
0
(x2
?r2)3/2
2ε(x2
0
?r2)3/2
环形薄板在P点产生的总场强为：E??
RdE?σx( 1 ? 1 )
x2?R2
x2?R2
1
x2?R2
2
2
1 0
? ?
若σ0，则E背离环面；若σ0，则E指向环面。
在环心处x=0，该处的场强为 E=0
0
6、一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r处的场强。
解：在上题中，令R
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