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2023-2024学年上海市闵行中学高一(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共4小题,共18分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“φ=π2”是“函数y=sin(x+φ)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设f(n)=1n+1+1n+2+...+
A.12n+1?1n+1 B.12n+2?
3.如图,圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点,则AP?AB的取值范围是(????)
A.[1,4+24]
B.[1,1+
4.设实数x∈(0,π4),给出如下两个命题:
①存在x,使得sinx,cosx,tanx,cotx按某种顺序可组成等差数列;
②存在x,使得sinx,cosx,tanx,cotx按某种顺序可组成等比数列.
则
A.①②均为真命题 B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题 D.①②均为假命题
二、填空题:本题共12小题,共54分。
5.已知扇形的半径为2,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为______.
6.角α终边上有一点P(3,?2),则sinα=______.
7.已知复数z满足(2+i)z=5,则|z|=______.
8.数列{an}中,an=nsin
9.已知向量a=(1,2),b=(?2,x),若a/?/b,则实数
10.首项为1的等比数列{an}中,4a1,2a2
11.已知△ABC的三边长AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm,则△ABC的面积为______cm2.
12.已知点P(cosθ,sinθ),点A(?2,0),O为原点,则AO?AP的最小值为______.
13.在复平面内,复数z1和z2对应的点分别为A,B,则z1?z
14.在等差数列{an}中,a10,S4=
15.如图,在Rt△ABC内有一系列的正方形,它们的边长依次为a1,a2,…,an,…,若AB=a,BC=2a
16.已知空间向量a、b、c、d满足:|a?b|=1,|b?c|=2,
三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=4sinxcosx+23cos2x+23+a的最大值为2.
(1)求a的值,并求f(x)的最小正周期;
(2)求
18.(本小题14分)
已知关于x的实系数一元二次方程x2?3ax?3a=0(a∈R)有一对共轭虚根x1,x2.
(1)当a=?13时,求共轭虚根x1和x2;
19.(本小题14分)
银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次,结算后将利息并入本金,这种计算利息的方法叫做复利.现在某企业进行技术改造,有两种方案:
甲方案:一次性向银行贷款10万元,技术改造后第一年可获得利润1万元,以后每年比上年增加30%的利润;
乙方案:每年向银行贷款1万元,技术改造后第一年可获得利润1万元,以后每年比前一年多获利5000元.
(1)设技术改造后,甲方案第n年的利润为an(万元),乙方案第n年的利润为bn(万元),请写出an、bn的表达式;
(2)假设两种方案的贷款期限都是10年,到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息10%的复利计算,试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多?(精确到0.1)(净获利
20.(本小题18分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知m=(2a,2b),n=(cosB,cosA)且满足m?n=ccosC.
(1)求C;
(2)若c=3,求当函数f(B)=cos2B?4cosCsinB取最小值时
21.(本小题18分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?Sn?1=1(n∈N?,n≥2),a1=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若[x]表示不超过x的最大整数,如[?1.2]=?2,[2.1]=2,求[
参考答案
1.A?
2.D?
3.B?
4.D?
5.4?
6.?2
7.5
8.0?
9.?4?
10.2?
11.3
12.2?
13.?1?3i?
14.6或7?
15.45
16.3?
17.解:(1)f(x)=4sinxcosx+23cos2x+23+a=2sin2x+23cos2x+23+a=4sin(2x+π3)+23+a,
由于函数的最大值为2;
故4+23+a=2,解得a=?23?2.
18.解:(1)当a=?13时,
Δ=1?43=?13,
则方程x2+x+13=0的根为x=?1±?(?13)i2=?12
19.解:(1)对于甲方案,
1年后,利润为1(万元),
2年后,利润为1×(1+
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