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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
一、新课引入二项定理:一般地,对于nN*有二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?
杨辉三角1.“杨辉三角”的来历及规律展开式中的二项式系数,当时,如下表所示:11121133114641151010511615201561
杨辉三角1第0行11121133114641第1行第2行第3行第4行第5行第6行6=3+34=1+310=6+410=6+420=10+1015=5+10151010511615611520………………第n-1行1第n行11……1…………
从第三个数起,任一数都等于前两个数的和;如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?这就是著名的斐波那契数列。1第0行第1行第2行第3行第4行第5行1112113311464115101051第6行1615201561第7行172135352171第8行18285670562881……
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了,这个表称为杨辉三角。在书中,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是:从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:当时,其图象是右图中的7个孤立点.
二项式系数的性质2.二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由公式得到.图象的对称轴:
二项式系数的性质(2)增减性与最大值二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
二项式系数的性质(2)增减性与最大值因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数、相等,且同时取得最大值。
二项式系数的性质(3)各二项式系数的和在二项式定理中,令,则:这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:同时由于,上式还可以写成:这是组合总数公式.
例题分析:例1.证明:(1)(a+b)的展开式中,各二项式系数n的和令a=b=1,则启示:在二项式定理中a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值,是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
继续思考1:(2)试证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证:证明:在展开式令a=1,b=-1得中小结:赋值法在二项式定理中,常对a,b赋予一些特定的值1,-1等来整体得到所求。1答案2答案
赋值法
例2
小结:求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值,然后解方程组整体求解思考:
1.当n?10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.课外思考:1.求证:132.(1﹣x)的展开式中系数最小的项是()C(A)第六项(B)第七项(C)第八项(D)第九项
思考2求证:略证:由(1+x)(1+x)nn=(1+x)2n,两边展开后比较x的系数得:n再由得思考32答案
思考:求证:证明:∵倒序相加法
思考3.在(3x-2y)20的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时,系数绝对值最大的项为
即3(r+1)2(20-r)得2(21-r)3r所以当r=8时,系数绝对值最大的项为(3)因为系数为正的项为奇数项,故可设第2r-1项系数最大。(以下同2)r=5.
课堂练习:1)已知,那么=;2)是;的展开式中,二项式系数的最大值3)若的展开式中的第十项和第十一;项的二项式系数最大,则n=
例1证明在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例2已知的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项.
例3:的展开式中
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