极限定理-样本及抽样分布课件.pptVIP

X~B(n,p),EX=np,DX=npq,以X表示n重贝努里试验A发生次数以Ｘ表示第ｉ次试验A发生的次数i大数定律Ｘ独立同分布i中心极限定理Ｘ独立同分布,且E(X)=μ,D(X)=б2iii

5.1大数定律大数定律表达了大量随机变量平均值的稳定性.定义5.1设随机变量序列Y,Y…Y,a是常数,12n对于任意正数e,有P{Y-ae}=1,limnn?￥LY,YY...a,依概率收敛于记为则称序列12nPY???a.n

贝努利大数定律以n是n次贝努利试验中A出现的次A数,P(A)=p,则当n→∞,有:X~B(n,p),X表示n重贝努里试验中A发生次数.第ｉ次试验中A发生第ｉ次试验中A不发生有表达了频率的稳定性.

辛钦大数定律设随机变量X,X…X…相互独立,12n服从同一分布，数学期望E(X)=?(i=1,2…),i则对于任意正数?,有表达了随机变量算术平均值的稳定性.

例5.2设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7,假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解：设X表示同时开着的灯数,有X~b(10000,0.7).E(X)=7000,D(X)=2100,

5.2中心极限定理观察结果表明：大量相互独立的随机变量之和,每个随机变量对总和的影响都很小,近似服从正态分布.独立同分布的中心极限定理设X,X….X独立同分布,E(X)=μ,D(X)=б,212.nii当n充分大时,有即

例5.3一个螺丝钉重量时一个随机变量,期望值是1两,标准差是0,1两.求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解设一盒重量为X,第i个螺丝钉重量为X,有iE(X)=1,D(X)=0.01,ii有X~N(100,1).

例5.4对敌人的防御地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数是随机变量,期望值2,方差1.69.求在100次轰炸中有180到220颗炸弹命中目标的概率.解:以X表示第i次轰炸中命中目标的炸弹数,则i有X近似服从N(200,169).

设X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中A发生次数.第ｉ次试验中A发生第ｉ次试验中A不发生德莫佛-拉普拉斯定理设随机变量X~B(n,p),则当n充分大时,有即

例已知生男孩的概率为0.515,求在10000新生儿中女孩不少于男孩的概率.解:以X表示10000个新生儿中的男孩数,则X~b(10000,0.515),X近似服从正态分布N(5150,2498)所求概率为P{X≦5000}

例保险公司有10000个同龄同阶层的人参加人寿保险,该类人一年内死亡的概率为0.006，每个参保的人在年初付12元保险费，死亡时家属可领得1000元.问保险公司亏本的概率.解:设这10000人中一年内死亡的人数为X，则X~b(10000,0.006),X近似服从正态分布N(60,59.64)P{亏本}=P{X120}

第六章样本及抽样分布

第一节随机样本研究对象的全体称为总体.每一个元素称为个体.总体用随机变量X表示.从总体中随机独立抽取一部分个体进行观察,所抽得的个体称为样本.样本用随机变量X,X…X表示.12n样本的观察值x,x….x称为样本值.12n总体X的分布函数为F(x),则样本X,X….X的联合12n分布函数

例考察某种型号灯泡的寿命，设为X,X可能为０到正无穷上任一值。总体X服从指数分布Ｅ(?),从中随机独立抽取５个个体,设为X,X…X,XXX则,…相互独立且X~Ｅ(?),12５５12ix=1010,x=1020,x=1000,x=990,x=980。12３４5

例考察某厂家生产的彩电是否合格,合格率为p，合格品总体X~(0-1)分布,否则从中随机独立抽取5台,分别以X,X…X表示,125则X,X…X相互独立且X~(0-1)分布.125ix=1，x=0，x=1，x=０，x=1。12３４5总体分布P{X=1｝=p，Ｐ｛X=0}=1-p，常写成P{X=x｝＝px(1-p)1-x,x=0或１。

例某种炮弹的炮口速度,设为X,总体Ｘ服从正态分布Ｎ(μ,δ),但μ,δ随机独立抽取５发,分别以X,X…X表示炮口速度,22未知，12５则X,X…X相互独立且X~N(μ,δ).212５ix=3,x=4,x