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四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（????）

A．70 B．80 C．90 D．100

2．的展开式中的系数为（????）

A．50 B．100 C． D．

3．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（????）

A．200 B．150 C．250 D．100

4．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．7

5．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

6．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（????）

A．150 B．180 C．240 D．540

7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为（????）

A． B． C． D．

8．若实数满足，则下列不等式错误的是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（????）

A． B．

C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14

10．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为，数列的前项为，则（????）

A． B．满足的的最小值为11

C． D．

11．设函数，则（????）

A．当时，直线不是曲线的切线

B．当时，函数有三个零点

C．若有三个不同的零点，，，则

D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则

三、填空题

12．已知函数，则的极小值点为.

13．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．

14．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如若，则.

四、解答题

15．设数列的前项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．

16．为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.

红色外观

蓝色外观

棕色内饰

20

10

米色内饰

15

5

(1)从这50个模型中随机取1个，用表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件与是否相互独立；

(2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的期望（精确到元）.

17．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

18．在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为.

(1)若，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为，求的分布列与期望；

(2)若，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.

19．已知函数，

(1)讨论的单调性；

(2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其