小学六年级数学第19讲：排列组合教师版x.pdf

第十九讲誹列殂合

知识械理

一、排列问题一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多

少种排法，就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先

后顺序有关•

nim＜n＞

一般地，从个不同的元素中取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从/?

m

个不同元素中取岀m个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序

也相同.如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完

全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数排列的基本问题是计算排列的总个数.

从n个不同的元素中取出mimmim＜nn＞个元素的所有排列的个数，叫做从兀个不同的元素

mP：•

的排列中収出个元素的排列数，我们把它记做个元素的排列数，我们把它记做

根据排列的定义，做一个加元素的排列由加个步骤完成：

1：n

步骤从斤个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；

2：＜n-ln-l＞

步骤从剩下的个元素屮任取一个元素排在第二位，有种方法；

步骤刃：从剩下的个元素中任取一个元素排在第加个位置，有

77—(加一1)〃一加+14种》方法；

由乘法原理，从宀个不同元素中取出加个元素的排列数是

77■■(7?-1)■■(W-2)(77-/77+1),即出斤(/?一1)(介一2)…(刀-加+1),这里，777

/?,且等号右边从川开始，后面每个因数比前一个因数小1,共有加个因数相乘.

二、排列数

一般地，对于m-n的情况，排列数公式变为P=/?-(n-l)-(/?-2)3-2-1.

表示从n个不同元素中取〃个元素排成一列所构成排列的排列数.这种斤个排列全部取出的

排列，叫做〃个不同元素的全排列.式子右边是从〃开始，后面每一个因数比前一个因数小1,一

直乘到1的乘积，记为加，读做川的阶乘，则上还可以写为：P：=nl,其中77!=/?•(-1)-(/?-2)

3-2-1.

在排列问题屮，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，

可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.

三、组合问题

H常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛屮，把参赛队分为儿个组，从全班同学中选

出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里,我们将着重

研究有多少种分组方法的问题.

imn

一般地，从个不同元素中収出加个元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从宀

个不同元素中取出加个元素的一个组合.

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个组合

中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合川的元素不完

全相同时，才是不同的组合.

imnimn

从〃个不同元素中取出加个元素的所有组合的个数，叫做从川个不同元素中取出加个