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数列的通项公式的求法
观察法〔即猜测法,不完全归纳法〕
观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系
例1:根据数列的前4,写出它的一个通项公式:9,99,999,9999,......
公式法
假设数列的前n项和与项数n的关系,求数列的通项公式可用公式法求解。
例2:的前n项和,求的通项公式。
由递推公式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。
迭加法
递推关系
例3数列满足,求数列的通项公式。
变式:数列满足,求数列的通项公式。
迭乘法
递推关系是
例4:数列中,,求的通项公式。
变式:数列满足,求数列的通项公式。
3、待定系数法
例5数列满足,求数列的通项公式。
变式:数列满足,求数列的通项公式。
4、数学归纳法
例6数列满足,求数列的通项公式。
解:由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
〔1〕当时,,所以等式成立。
〔2〕假设当时等式成立,即,那么当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据〔1〕,〔2〕可知,等式对任何都成立。
评注:此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
数列求和
〔一〕主要知识:
1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
〔1〕等差数列的求和公式:
〔2〕等比数列的求和公式〔切记:公比含字母时一定要讨论〕
2.公式法:
3.错位相减法:比方
4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。
常见拆项公式:
;
;
;
。
5.分组求和法:把数列的每一项分成假设干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
6.合并求和法:如求的和。
7.倒序相加法:
8.其它求和法:如归纳猜测法,奇偶法等
〔二〕主要方法:
1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式;
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3.转化思想的运用;
〔三〕例题分析:
例1.求和:①
②
③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n项和
思路分析:通过分组,直接用公式求和。
解:①
②
〔1〕当时,
〔2〕当
③
总结:运用等比数列前n项和公式时,要注意公比讨论。
2.错位相减法求和
例2.数列,求前n项和。
思路分析:数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列对应项积,可用错位相减法求和。
解:
当
当
3.裂项相消法求和
例3.求和
解:
练习:求答案:
4.倒序相加法求和
例4求证:
思路分析:由可用倒序相加法求和。
证:令
那么
等式成立
5.其它求和方法
还可用归纳猜测法,奇偶法等方法求和。
例5.数列。
思路分析:,通过分组,对n分奇偶讨论求和。
解:,假设
假设
练习:成等差数列,n为正偶数,
又,试比拟与3的大小。
解:
可求得,∵n为正偶数,
〔四〕、小结:
1.掌握各种求和根本方法;
2.利用等比数列求和公式时注意分讨论。
同步练习:
数列的通项公式与求和
练习1
练习1
练习2
练习2
练习3
练习3
练习4
练习4
练习5
练习5
练习6
练习6
练习7
练习7
练习8等比数列的前项和Sn=2n-1,那么
练习9求和:5,55,555,5555,…,,…;
练习10求和:
练习11求和:
练习12设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,〔Ⅰ〕求,的通项公式;〔Ⅱ〕求数列的前n项和.
答案
练习1答案:
练习2证明:
(1)
注意到:
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入第二条式子得:
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知,
{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列。
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1)(*)
代入a(n+1)=S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)(n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N且n1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2)(n属于N)
由(*)式得:
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
比照以上两式可知:S(n+1)=4*a(n
练习3
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