第六节向量法求空间角与距离课件-2025届高三数学一轮复习.pptxVIP

第六节向量法求空间角与距离

1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平

行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的

作用.

目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破

PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.已知直线l1的方向向量s1＝（1，0，1），直线l2的方向向量s2＝

（－1，2，－2），则l1和l2夹角的余弦值为（）A.B.C.D.?

2.在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C

（5，4，－1），则A到BC的距离为（）A.3B.C.D.

?

???

最小角定理如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的

射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为

OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ

＝cosθ1cosθ2.

已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射

影，直线OC在平面α内，且∠AOB＝∠BOC＝45°，则∠AOC的大小

为?.?60°

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

直线与平面所成的角【例1】（2024·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，

A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离

为1.

（1）证明：A1C＝AC；解：证明：如图，过A1作A1D⊥CC

1，垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC?平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC?平面BCC1B1，且CC1∩BC

＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.

由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，

又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.

（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角

的正弦值.?

?

?

解题技法向量法求直线与平面所成角的2种方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转

化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向

量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所

成的角.

?

（1）证明：BD⊥PA；解：证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1.又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四

边形.又BC＝OB＝1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO.同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，

所以BD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，BD?底面

ABCD，所以PD⊥BD，又AD∩PD＝D，AD，PD?平面ADP，

所以BD⊥平面ADP.因为PA?平面ADP，所以BD⊥PA.

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.?

?

平面与平面的夹角（二面角）【例2】（2024·新高考Ⅱ卷20题）如图，三棱锥A-BCD中，DA＝

DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点.

（1）证明：BC⊥DA；解：证明：如图，连接DE，AE.因为DC＝DB，E为BC的中点，所以BC⊥DE.因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DC＝DB，所以△ABD≌△ACD，所以AB＝AC.又E为BC的中