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练习五矩阵、矩阵的运算和方阵
一、选择题
设矩阵A、B、C满足AC?CB，且C为m?n矩阵，则A和B分别是（ ）
?A?
?C?
n?m与m?n矩阵 ?B? m?n与n?m矩阵
n?n与m?m矩阵 ?D? m?m与n?n矩阵
设A、B均为n阶方阵，且?A?B??A?B??A2?B2，则必有（ ）
) A?B； ?B? A?E （其中E为n阶单位矩阵）
?C? AB?BA； ?D? B?E （其中E为n阶单位矩阵）
设A、B均为n阶方阵，则必有（ ）
（A）A?B?A?B（B）AB?BA（C）AB?BA（D）(AB)T?ATBT
设A、B均为n阶方阵，满足AB?0，则必有（ ）
（A）A?0或B?0 (B) A?B?0（C）A?0或B?0（D）A?B?0
设A、B均为n阶矩阵，A*,B*分别为A、B对应的伴随矩阵，
?O ?B则C??A O
?O ?B
? ?
*为（ ）
?????（A）?AA* O ? （B）?BB* O ?
?
?
?
?
?
O? ??? BB*? ? O
O
? ?
?
AA*?
?????（C）?AB* O ? （D）?BA* O ?
?
?
?
?
?
O? ??? BA*? ? O
O
? ?
?
AB*?
二、计算
设f(x)?a
0
ax?a
1 2
x2? ?a
?m
?
xm 是一个m次多项式，A是一个n?n
矩阵，定义f(A)?a
0
E?a
1
A?a
2
A2? ?a
?m
?
Am为矩阵A的多项式。设
?1 ?2 2?
??f(x)?2?3x?x2，且A??3 2 1?，求f(A)
?
?
0??? 1 ?1?
0
?
?
?3
已知A ?
1 0?
?
?1 0 2?
? ?。求满足方程 中的
???1 2 1?,B???1 1 1?
3A?2X?B X
??3?2?? 4 2? ? 1 1?
?
?
3
?
2
?
?? 1 0?n
3．求?0 ? 1?
（其中n?N）
? ?
?0 0 ??
? ?
?2
?4．已知A??2
?
2 ?2?
?5 ?4?，?为一未知数，求解方程?E?A?0
?
????2 ?4 5?
?
?
三、证明题
设A为n阶对称矩阵，且A2 0，证明：A=0
练习六 逆矩阵和矩阵的分块法
一、选择题
1、若A、B、C是同阶矩阵，且A可逆，则下式（ ）必成立。
（A）若AB=AC，则B=C
若CB?CA，则B?A
2、以下结纶正确的是（ ）
（B）AB=CB，则A=C
若BC=0，则B=0
?A?若方阵A的行列式A?0，则A?0 ?B?若A2?0，则A?0
?C?若A为对称矩阵，则A2也是对称矩阵
?D?对任意的同阶方阵A，B，有?A?B??A?B??A2?B2
3、当ad?
bc时，?a b??1
?c d?
=（ ）
（A）?d
? ?
c?
（B）
1 ?d ?b?
??b a? ad?bc??c a?
? ? ? ?
? ?（
? ?
1
bc?ad
?d b ?
? ??c ?
? ?
（D）
1 ?d ?c?
ad?bc??b a?
?102?
4、已知A=?013?，则（
? ?
??213??
（A）A为可逆矩阵
（C）A?1?A
）
（B）AT?A
?001? ?231?
（D）?010?A=?013?
? ? ? ?
??100?? ??102??
5、设A、B、C、E均为四阶方阵，其中E为单位矩阵，若ABC=E，则下列各式中总成立的有（ ）。
（A）CBA=E （B）ACB=E
（C）BAC=E （D）BCA=E
二、设
?3
A=?2
?
?4 5?
?3 1?，用伴随矩阵的方法求A?1。
?
??3 ?5 ?1??
??1 0 0?
?
?
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