62 平面向量的运算习题.docx

62平面向量的运算

习题62

复习巩固

1如果表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）

【答案】（1）向东走；（2）向东走；

（3）向东北走；（4）向西南走；

（5）向西北走；（6）向东南走

【解析】

【分析】

由向量加法及其几何意义和位移的关系可得

【详解】由题意知：表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”

（1）表示“向东走”

（2）表示“向东走”

（3）表示“向东北走”

（4）表示“向西南走”

（5）表示“向西北走”

（6）表示“向东南走”

【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题

2一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成

【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行

【解析】

【分析】

由向量的加减运算，即可得出结论

【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行

【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义，考查生的计算能力，区分路程、位移是关键

3一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）

【答案】，方向与水流方向成76°角

【解析】

【分析】

利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论

【详解】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则

由，得

船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角

【点睛】本题以实际问题为载体，考查向量的加法运算，考查三角函数知识，属于基础题

4化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）

【答案】（1）（2）（3）

（4）（5）（6）（7）

【解析】

【分析】

根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可

【详解】解：（1）原式

（2）原式

（3）原式

（4）原式

（5）原式

（6）原式

（7）原式

【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题

5作图验证：

（1）

（2）

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】

根据向量的平行四边形法则，画图验证即可

【详解】解：如图，在平行四边形ABD中，设，则

（1）因为，

所以

（2）因为，

所以

【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，属于基础题

6（1）已知向量,,求作向量，使

（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？

【答案】（1）见解析

（2）当，共线时，不能构成三角形，当，不共线时能构成三角形

【解析】

【分析】

作平行四边形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出

【详解】（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，

则，

又，所以，即，

方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，

则，即，

当向量,两个共线时，如下图：使得，，

则，，

所以，，即

（2）向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，

向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形

【点睛】本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题

7已知，为两个非零向量，

（1）求作向量；

（2）当向量，成什么位置关系时，满足？（不要求证明）

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

根据向量的三角形法则，作出图象即可

【详解】（1）当向量,两个不共线时，作，使得，，，，

所以，

当向量,两个同向且共线时，作，，，

所以，

当向量,两个反向且共线时，作，，，

所以，，

（2）当时，满足，如图，作矩形，作，，

所以，，

【点睛】本题考查了平面向量的知识，考查了生的动手能力，解题的关键是掌握三角形法则的应用，掌握数形结合思想的应用，属于基础题

8化简：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．

【详解】（1）

（2）

（3）

（4）

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，属于基础题．

9求证

【答案】见解析

【解析】

【分析】

直接由已知结合向量减法的三角形法则可得

【详解】证明：因为，

而，

所以

【点睛】本题考查共线向量基本定理，考查了向量减法的三角形法则，属于基础题

10填空：

（1）若,满足,则的最大值为，最小值为；

（2）当非零向量,满足时，平分与的夹角

【答案】①5②1③

【解析】

【分析】

利用即可得到结论

【详解】