方程求根的数值解法.ppt

第六讲

方程求根的数值解法1

第六讲主要知识点1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；2、牛顿法的收敛性；3、牛顿法的收敛速度；3、弦截法思想。2

一般迭代法3

一般迭代法（续）由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数，是提高迭代数列的收敛速度的关键。本节介绍一种确定迭代函数的方法──牛顿法。牛顿法是求解方程的一种重要方法，它的最大优点是方程在单根附近具有较高的收敛速度，它还可以用于求代数方程的重根、复根；也可以拓广用于求解非线性方程组的问题。4

牛顿法取在x0做一阶Taylor展开:将看成高阶小量，则有：只要，每一步迭代都有，而且，，则的根。（牛顿公式），?在x0和x之间。5

牛顿法几何表示令其为零，得切线与轴的交点为从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构，方程的根就是曲线与轴的交点。设为的一个近似值，过曲线上横坐标为的点，引一条切线，其方程为6

牛顿法几何表示（续1）将此式与上面求得的牛顿公式进行比较即可知道：牛顿公式实际上就是用曲线在点处的切线与轴的交点作为曲线与轴交点的近似，如下图所示．7

牛顿法几何表示（续2）x*x0x1x2xyf(x)8

牛顿法例题例用牛顿法求解方程在附近的根解：将方程转化为等价方程令，则牛顿迭代公式为，迭代结果如下表3.69

牛顿法例题（续），迭代结果如下表取初值012340.50567155505671432，与例4、例6的迭代结果进行比较可见，牛顿公式的收敛速度是相当快的。10

牛顿法的收敛性11

牛顿法收敛性示意图12

注：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x*x0?x0?x0牛顿法收敛性示意图（续）13

牛顿法例题14

收敛速度定义15

收敛速度定理16

收敛速度定理证明17

牛顿法的收敛速度18

牛顿法应用19

牛顿法优缺点Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。20

牛顿下山法（1）选取初始近似值x0；（2）取下山因子?=1；（3）计算（4）计算f(xk+1)，并比较与的大小，分以下二种情况 否则若?≤??，而时，则把xk+1加上一个适当选定的小正数，即取xk+1+?作为新的xk值，并转向（3）重复计算；当?＞??；且，则将下山因子缩小一半，取?/2代入，并转向（3）重复计算。牛顿下山法计算步骤可归纳如下：1）若，则当时，取x*?xk+1，计算过程结束；当时，则把xk+1作为新的xk值，并重复回到（3）。2）若，则当?≤??且，取x*?xk，计算过程结束；21

例5：求方程的根k?xk010.611/2513668131132472牛顿下山法的计算结果：例题分析22

弦截法23

弦截法（续）24

弦截法的又一思想则得双点或单点弦割法迭代格式在牛顿迭代格式中，将曲线上点的切线斜率，改为其上两点连线(弦)的斜率25

弦截法几何表示x0Xx1x2x3Yf(x)0P0