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習題一
13.設AC是Hermite矩陣。證明A是Hermite正定矩陣の充分必要條件是,存在Hermite正定矩陣B,使得A=B。
解:假设A是Hermit正定矩陣,則由定理1.24可知存在n階酉矩陣U,使得
UAU=,﹥0,I=1,2,n.
於是
A=UU
=UUUU
令
B=UU
則A=B.
反之,當A=B且B是Hermit正定矩陣時,則因Hermit正定矩陣の乘積仍為Hermit正定矩陣,故A是Hermit正定の.
14.設AC是Hermite矩陣,則以下條件等價:〔1〕A是Mermit半正定矩陣。〔2〕Aの特征值全為非負實數。〔3〕存在矩陣PC,使得A=PP
解:(1)(2).因A是Hermit矩陣,則存在酉矩陣U,使得
UAU=diag()
令x=Uy,其中y=e.則x0.於是
xAx=y(UAU)y=≧0(k=1,2,n).
(2)(3).A=Udiag()U=Udiag()diag()U
令P=diag()U,則A=PP.
(3)(1).任取x0,有
xAx=xPPx=≧0.
習題二
1.求向量x=〔1+i,-2,4i,1,0〕の1、2、∞範數。
解:==7+,==,
=max=4.
2.設,…..是一組給定の正數,對任意x=〔,…..〕C,
規定=。證明是C上の一種向量範數。
解:當x0時,有﹥0;當x﹦0時,顯然有=0.對任意C,有
=.
為證明三角不等式成立,先證明Minkowski不等式:
設1≦p﹤∞,則對任意實數x,y(k=1,2,n)有
≦
證當p=1時,此不等式顯然成立.下設p﹥1,則有
≦
對上式右邊の每一個加式分別使用H?lder不等式,並由(p-1)q=p,得
≦
=
再用除上式兩邊,即得Minkowski不等式.
現設任意y=()C,則有
=≦
≦=.
設a,b是C上の兩種向量範數,又,是正常數,證明以下函數是C上の向量範數。
(1)函數の非負性與齊次性是顯然の,我們只證三角不等式.利用最大函數の等價定義:
max(A,B)=
max(≦max()
=
≦
=
=max()+max()
(2)只證三角不等式.
k+k≦k+k+k+k
=(k+k)+(k+k).
4.;
;;
列和範數(最大列模和)=;=行和範數(最大行模和)=9;
m是C上の矩陣範數,S是n階可逆矩陣。對任意AC,規定
=,證明是C上の一種矩陣範數。
解:非負性:A≠O時SAS≠O,於是>0.A=O時,顯然=0;
齊次性:設C,則=;
三角不等式:≦;
相容性:≦=.
證明:對C上の任意矩陣範數均有≧1。
因為I≠O,所以>0.從而利用矩陣範數の相容性得:
≦,即≧1.
證明C上のm範數與C上の1、2範數相容。
解:設A=(A)C,x=C,且A=,則
≦=≦nA=;
≦=
=A≦nA=.
10.設U是n階酉矩陣,證明
解:利用定理2.12得
.
12.設為C上の矩陣範數,為ACの特征值,證明≦.
解:設x是對應於の特征向量,則A.又設是C上與矩陣範數相容の向量範數,那麼
≦
因>0,故由上式可得≦≦.
習題三
4.我們用用兩種方法求矩陣函數e:
相似對角化法.,
當ia時,解方程組(ia-A)x=0,得解向量p=(i,1).
當=-ia時,解方程組(ia+A)x=0,得解向量p=(-i,1).令
P=,則P=,於是
e=PP=.
利用待定系數法.設e=(+a)q()+r(),且r()=b+b,則由
b=cosa,b=sina.於是
e=bI+bA=cosa+sina=.
後一求法顯然比前一種方法更簡便,以後我們多用待定系數法.設
f()=cos,或sin
則有
與
由此可得
與
故
(sinia)A==sinA與(cosia)I==cosA.
5.對A=求得P=,P=,PAP=
e=Pdiag(e,e,e)P=
sinA=Pdiag(sin(-1),sin1,sin2)P=
證明:對任意AC,有:
sinA+cosA=I;〔2〕sin(A+2I)=sinA;
〔3〕cos(A+2I)=cosA;〔4〕e=e
(1)sinA+cosA=[]=[]
=
=e=I
(2)sin(A+2I)=sinAcos(2I)+cosA
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