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2023-2024学年上海市杨浦区高二(下)期末数学模拟试卷
一、单选题:本题共4小题,共18分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“m=?1”是“直线l1:x+my?2=0与直线l2:(m?2)x+3my+2m=0互相垂直”的(????)
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2.设a、b是两条不同的直线,α是一个平面,若a/?/α且b/?/α,则a、b的位置关系是(????)
A.相交 B.平行 C.异面 D.不能确定
3.已知事件A与B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则P(A?
A.15 B.25 C.35
4.如图,已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,点M为棱AB的中点,点P在正方形BCC1B1内部(不含边界)运动,给出以下三个结论:
①存在点P满足PD1⊥MB1;
②存在点P满足PD
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题:本题共12小题,共54分。
5.抛物线y2=4x的焦点坐标为??????????.
6.直线y=x的倾斜角大小是______.
7.已知圆C的方程为x2+y2?2x+4y=0
8.平行直线3x+4y?5=0及3x+4y+5=0之间的距离是______.
9.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下:
命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.15
0.25
0.3
0.2
如果这名运动员只射击一次,命中的环数大于8环的概率是______.
10.如图,一个圆锥形杯子,杯口半径和杯子深度都是4厘米,如果将该杯子装满饮料,则可以装______立方厘米.
11.已知a=(1,?2,3),b=(2,m,n),若a//b,则m+n=
12.同时投掷两颗均匀的骰子,所得点数相等的概率为______.
13.学校开展国防知识竞赛,对100名学生的竞赛成绩进行统计,发现这100名同学的成绩都在[50,100]的范围内,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],图中x的值是______.
14.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中,E,F,分别在棱B1B和D1D上,且BE=
15.已知数列{an}是首项是1,公比为q(q0)的等比数列,数列{bn}的通项公式是bn=n+1.设双曲线x2
16.早在公元5世纪,我国数学家祖暅就提出:“幂势既同,则积不容异”.如图,抛物线C的方程为y=x2,过点(1,0)作抛物线C的切线l(l的斜率不为0),将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周,所得的几何体记作Ω,利用祖暅原理,可得出几何体Ω的体积为______.
三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
设数列{an}为等差数列,其公差为d,前n项和为Sn.
(1)已知a2=21,a7=76,求a1及d;
18.(本小题14分)
如图,三棱柱OAB?O1A1B1中,OA=OB=OO1=1,∠AOB=90°,OO1垂直于平面OAB.
(1)求异面直线A
19.(本小题14分)
某篮球特色学校调查学生投篮技能情况,请每个学生投篮5次并记录进球数,随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本,结果统计如下(其中a∈N,b∈N);
进球数
0
1
2
3
4
5
高一人数
4
2
a
b
42
12
高二人数
3
1
12
44
33
7
(1)请写出高二年级样本的中位数;
(2)若高一年级样本的平均数为3.2,求a的值;
(3)在这200名学生中,高一高二年级各选取1人,若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%,求a的值.
20.(本小题18分)
端午节吃粽子,用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子,假设其形状是一个正四面体,如图记作正四面体A?BCD,设棱长为a.
(1)求证:BC⊥AD;
(2)求箬竹叶折出的二面角A?BC?D的大小;
(3)用绳子捆扎三角粽,要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点,并且绳子的起点和终点重合.请设计一种捆扎三角粽的方案,使绳子长度最短(不计打结用的绳子),请在图中作出绳子捆扎的路径,并说明理由.
21.(本小题18分)
如图,已知椭圆C的方程为x24+y2=1,点A、B分别是椭圆C的左、右顶点,点E的坐标是(4,0),过点E的动直线l交椭圆C于点P、Q(点P的横坐标小于点Q的横坐标).
(1)求椭圆C焦点的坐标;
(2)是否存在常数λ,使OP?OQ+λEP?EQ为定值,若存在,求
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