华师九上册易错题例析张建敏.docxVIP

华师大九年级上册易错例析

河南张建敏

相似三角形的判定（2）（两边对应成比例且夹角相等及三边对应成比例）

例41.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD×DC，求∠BCA的大小.

错解：如图2所示，因为AD2=BD×DC，所以=,又∠ADB=∠ADC=90°,所以△ABD∽△CAD，所以∠B=∠DAC=25°.因此∠BCA=90°-∠DAC=90°-25°=65°.

剖析：错解错在只求了锐角三角形中的∠BCA,而忽视了钝角和直角三角形中的∠BCA，造成漏解.补上以下两种情况才正确：

当△ABC是钝角三角形时，此时高AD在△ABC外部，如图3所示，因为AD2=BD×DC，所以=,又∠ADB=∠ADC=90°,所以△ABD∽△CAD，所以∠B=∠DAC=25°，所以∠ACD=65°，因此∠BCA=180°-∠ACD=180°-65°=115°.

当△ABC是直角三角形时，如图4所示，此时∠BCA=90°-25°=65°.

综上三种情况知，满足条件的∠BCA的度数为65°或115°.

例42.已知△ABC的三边长分别为20㎝，50㎝，60㎝，现要利用长度分别为30㎝和60㎝的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：㎝）分别为（）

,25,36或12，36，36，25或12，36

错解：C.

剖析：错解错在只计算了长度为30㎝的细木条与长为50㎝的边是对应边时，另外两边的长度.正确的解析过程应为：由题意知，不能用长为60㎝的木条做木架的一边，否则不能做成木架.所以只能用长为30㎝的的木条做木架的一边，把60㎝的木条分成两部分.设其中一部分长为x㎝，另一部分为y㎝，且x+y≤60（㎝）.显然，长30㎝的木条不能与△ABC中长20㎝的边相对应，只能与长为50㎝或60㎝的边相对应.

当木架长30㎝的边与△ABC中长50㎝的边对应时，=，=，解得x=12，y=36；

当木架中长30㎝的边与△ABC中长60㎝的边对应时，有=，=，解得x=10,y=25.

因此，正解为：D.

3.相似三角形的性质

例43.已知如图5，△ABC∽△ADE，S△ABC:S△ADE=1:3，

BC=2.求DE的长.

错解：因为△ABC∽△ADE，S△ABC:S△ADE=1:3，所以=()2=，因此DE=9BC=9×2=18.

剖析：错解错在把“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，错误的理解为“相似三角形的相似比等于相似三角形面积比的平方”.正解应为：因为△ABC∽△ADE，S△ABC:

图6S△ADE=1:3，所以（）2=，解得=.因此，DE=BC=×2=2.

图6

4.相似三角形的应用

例44.教学楼旁有一棵树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们，想利用树影测量树高.课外活动时，在阳光下他们测得一根长为1米的竹竿的影长是米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图6所示，落在教学楼的墙壁上的影子长为米，地上的影长为米，你能根据这些数据求出树高吗？

错解:设树高为x米，则=，解得x=4.答：树高为4米.

图8NMDCBA剖析:错解错在把墙上的影长，当作地上的影长计算了.实际上，树高等于地上部分对应的树高与墙上影长的和.如图7所示，树高为AB，墙上的影长为CD=米，地上的影长为BC=米，连接AD，作CE此，AB=BE+CD=3+=.因此树高为4.2米

图8

N

M

D

C

B

A

中位线（1）（三角形的中位线）

例45.如图8所示，在△ABC中，M是BC的中点，AB=8,AC=14,AN平分∠BAC，且AN⊥BD，求MN的长.

错解：易证MN是△ABC的中位线，由三角形中位线定理知，MN=AC=×14=7.

剖析：错解错在把△BCD的中位线MN当成了△ABC的中位线.其正解为：因为AN平分∠BAC，所以∠BAN=∠DAN；因为AN⊥BD，所以∠ANB=∠AND；在△ABN中和△ADN中，因为∠BAN=∠DAN，AN=AN,∠ANB=∠AND，所以△ABN≌△ADN.所以BN=DN.又因为M是BC的中点，所以MN是△BCD的中位线，所以MN=CD=(AC-AD)=(AC-AB)=(14-8)=3.

中位线（2）（梯形的中位线）

例46.如图9所示，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5,则等腰梯形的周长为（）

.22C

错解：A.

剖析：错解弄错了中位线与上、下底和的倍数关系，错把“梯形的中位线等于上、下底和的一半”，当成