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课题:数列的极限
教学目标:理解数列极限的概念,掌握数列极限的运算法那么;会通过恒等变形,依据数列极限的运算法那么,依据极限为的几种形式,求数列的极根.会求公比绝对值小于的无穷等比数列各项的和.
〔一〕主要知识及主要方法:
数列极限的定义:
一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限趋近于某个常数
〔即无限地接近于〕,那么就说数列以为极限.记作.
注:不一定是中的项
几个重要极限:〔,为常数〕;〔是常数〕;
;
极限问题的根本类型:分式型,主要看分子和分母的首项系数;
指数型(和型〕,通过变形〔如通分,约分〕使得各式有极限;
根式型(型),通过有理化变形使得各式有极限;
数列极限的运算法那么:与函数极限的运算法那么类似,如果,,那么
.
特别地,如果是常数,那么,
无穷等比数列的各项和:公比的绝对值小于的无穷等比数列前项的和当无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做;
〔二〕典例分析:
问题1.求以下数列的极限:;;
问题2.〔陕西〕等于
〔天津〕设等差数列的公差是,前项的和为,那么
〔湖北〕和是两个不相等的正整数,且≥,那么
问题3.假设,求和的值;
假设,求的取值范围.
问题4.数列满足,,,…,
假设,那么
,数列满足,〔,…〕,且数列的极限存在,那么〔结果用表示〕.
问题5.〔福建〕如图,连结的各边中点
得到一个新的又连结的各边中点得
到,如此无限继续下去,得到一系列三角形:
,,,…,这一系列
三角形趋向于一个点.
那么点的坐标是
〔三〕课后作业:
将化成分数是
假设,那么的取值范围是
;
,那么;;
(湖北宜昌市月模拟)数列满足〔〕,
且,那么
(届高三湖北八校联考)数列的前项和满足,那么其各项和等于
假设数列的通项公式是,,…,
那么
数列中,,,,那么
、
〔四〕走向高考:
〔重庆〕
〔上海〕计算:
〔上海〕计算:=
〔湖南〕数列〔〕为等差数列,且,,
那么
〔湖北〕不等式,其中为大于的整数,
表示不超过的最大整数.设数列的各项为正,且满足,≤,,…证明,,…
猜想数列是否有极限?如果有,写出极限的值〔不必证明〕;
〕试确定一个正整数,使得当时,对任意,都有.
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