华师八上第十四章勾股定理知识归纳邢进文.docxVIP

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

勾股定理

［教学目标］

1.了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算和证明。

2.通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力。

3.了解勾股定理的证明，培养学生的爱国情怀。

二.重点、难点：

勾股定理的应用。

三.教学过程设计：

（一）勾股定理的证明

发现勾股定理的是毕达哥拉斯（约公元前580～公元前500年），他是一个哲学家，也是一个著名的数学家。

我国西周开国时期的商高（公元前1120年）就发现了这个定理。因而，西方的发现比我国要迟好几百年。由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此我国把这个定理简称为勾股定理。我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法。

（二）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。

勾股定理的应用方法：

（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

又∵AB＞0，

（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

又∵AC＞0，

【典型例题】

例1.（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

又∵c＞0，

（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

又∵b＞0，

例2.已知直角三角形的两边长，求第三边的长。

解：（1）若AB、BC均为直角边

（2）若BC为斜边

例3.（1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________；

（2）如图所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，则AC＝___________；又若CD⊥AB，则CD＝___________。

（3）等边△ABC的边长为a，则高AD＝___________，___________。

解：（1）

（2）

（3）

通过此题总结几个基本图形中的常用结论：

①等腰直角三角形三边比为

②含30°角的直角三角形三边之比为

③边长为a的等边三角形的高为，面积为

例4.求下图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到）。

解：

例5.作长为的线段

分析：由勾股定理、直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边。

（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角，斜边为。

（3）顺次这样作下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、的长度就是。

以上作法根据勾股定理均可证明为正确的。

取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。

例6.如图所示，，∠DAC＝90°，求BD的长。

解：作AE⊥BC于E

设BD为x，则

又

将上式代入，得：

即

解得：

例7.如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。

求证：

分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。

Rt△ACD中，

Rt△BCD中，

（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：

例8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1，求△ABC的面积。

提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决。或直接在∠ABC内作∠ABE＝15°，交CA边于E。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1.判断题：

等腰直角三角形中，斜边是任一直角边的倍。（）

2.等边三角形边长为10，求它的高和面积。

3.已知：如图，隔湖有两点A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得CA＝50m，CB＝40m。求AB。

4.已知一个工件尺寸如图（单位mm），计算的长（精确到）

5.如图（单位mm），车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是134mm，两孔中心的水平距离BC是77mm，计算两孔中心的垂直距离AC（精确到）。

6.要修一个育苗棚（如图），棚宽a＝3m，高b＝，长d＝10m。求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少m2（精确到）?

7.想一想，如图，分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系？为什么？

8.如图所示，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝8。求AC边的长。

9.计算题：

如图，△ABC，AB＝AC，∠C＝3