课时作业(五十三)　椭圆及其简单几何性质.DOC

课时作业(五十三)椭圆及其简单几何性质

基础过关组

一、单项选择题

1．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰是边长为2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()

Aeq\f(2,2)＋eq\f(y2,\r(2))＝1 Beq\f(2,2)＋y2＝1

eq\f(2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 Deq\f(y2,4)＋eq\f(2,2)＝1

解析由条件可知b＝＝eq\r(2)，则a＝2，所以椭圆的标准方程为eq\f(2,4)＋eq\f(y2,2)＝1。故选。

答案

2．(2021·八省联考)椭圆eq\f(2,2＋1)＋eq\f(y2,2)＝1(0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则＝()

A．1 Beq\r(2)

eq\r(3) D．2

解析

在椭圆eq\f(2,2＋1)＋eq\f(y2,2)＝1(0)中，a＝eq\r(2＋1)，b＝，＝eq\r(a2－b2)＝1，如图所示。因为椭圆eq\f(2,2＋1)＋eq\f(y2,2)＝1(0)的上顶点为A，焦点为F1，F2，所以eq\b\l\|\r\|(\a\vs4\al\1(AF1))＝eq\b\l\|\r\|(\a\vs4\al\1(AF2))＝a，又因为∠F1AF2＝eq\f(π,3)，所以△F1AF2为等边三角形，则eq\b\l\|\r\|(\a\vs4\al\1(AF1))＝eq\b\l\|\r\|(\a\vs4\al\1(F1F2))，即eq\r(2＋1)＝a＝2＝2，因此，＝eq\r(3)。故选。

答案

3．已知椭圆eq\f(2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为eq\f(3,5)。过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()

A．10 B．12

．16 D．20

解析

如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝eq\f(,a)＝eq\f(3,5)，即＝eq\f(3,5)a，所以a2－2＝eq\f(16,25)a2＝b2＝16。所以a＝5，△ABF2的周长为20。

答案D

4．已知椭圆：eq\f(2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()

Aeq\f(2,36)＋eq\f(y2,32)＝1 Beq\f(2,9)＋eq\f(y2,8)＝1

eq\f(2,9)＋eq\f(y2,5)＝1 Deq\f(2,16)＋eq\f(y2,12)＝1

解析由题意知2a＝6,2＝eq\f(1,3)×6，所以a＝3，＝1，则b＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，所以此椭圆的标准方程为eq\f(2,9)＋eq\f(y2,8)＝1。

答案B

5．(2021·湖北宜昌一中模拟)设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交，其中一个交点为，若直线F1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为()

Aeq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)

eq\f(\r(2),2) Deq\f(\r(3),2)

解析由题意知∠F1F2＝eq\f(π,2)，|F2|＝，|F1|＝2a－，则2＋(2a－)2＝42，e2＋2e－2＝0，解得e＝eq\r(3)－1。

答案A

6．已知F是椭圆：eq\f(2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点，P为椭圆上的一点，Aeq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(1，\f(4,3)))，则|PA|＋|PF|的最小值为()

Aeq\f(10,3)Beq\f(11,3)．4Deq\f(13,3)

解析设椭圆：eq\f(2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦点为F′，则F′(2,0)，F(－2,0)。由Aeq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(1，\f(4,3)))，得|AF′|＝eq\f(5,3)。根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－eq\f(5,3)＝eq\f(13,3)。

答案D

二、多项选择题

7．(2021·山东淄博模拟)已知椭圆Ω：eq\f(2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，则下列结论正确的是()

A．若a＝2b，则Ω的离心率为eq\f(\r(2),2)

B．若Ω的离心率为eq\f(1,2)，则eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)

．若F1，F2分别