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第四章不可压缩粘性流动的差分解法;若保留一阶小量,得差分方程对应的微分方程:;为数值粘性,又称为隐式人工粘性。;原来有扩散项的微分方程,在作了某种差分处理后,有可能改变数值耗散项。;在差分处理中,还可能会出现多余的高于二阶的导数项。
多余的偶次导数项称为数值耗散。
多余的大于1的奇次导数项称为数值弥散,弥散也叫色散。;可以使激波变得比较平缓,便于计算;
对于一阶精度的格式,二阶耗散项对三阶色散项是个限制,可以消除数值色散引起的跳动;
对于二阶精度的格式,主项是三阶色散项,即色散误差要大于耗散误差,此时数值解一般会出现振荡。;二、流函数-涡量表达法的差分解;不可压缩流动的控制方程中不包含压力的时间导数项,且方程表现出椭圆-抛物组合型的特点。
求解不可压缩流动的困难在于处理“压力-速度”耦合问题。
流函数-涡量表达法是处理平面和轴对称不可压缩粘性流动问题的有效方法。利用流函数ψ和涡量ζ代替流动速度和压强,对Navier-Stokes方程进行变换,写成流函数-涡量方程的形式。;引入流函数ψ和涡量,变换为:;采用FTCS格式,得到差分方程:;由v=0可得:;当U0=0时,有:;流函数-涡量表达法差分计算步骤;远方边界:;例题;如果对一个离散方程在求解域内的任一有限空间内做求和运算(相当于连续问题中对微分方程做积分),所得的表达式满足该区域上物理量守恒的关系时,则称该离散格式具有守恒性。这里,守恒性是指积分守恒性。
根据质量守恒定律,知:;在区间[I1、I2]上直接积分,满足守恒性。;第一种情况:先差分(FTBS)后积分,不满足守恒性。;第二种情况:将原微分方程改写为;对应的差分方程能保持积分守恒性的微分方程称为守恒型的微分方程;
对应的差分方程不具有积分守恒性的微分方程称为非守恒型的微分方程;
散度型的微分方程(变量均在微分符号内)经差分离散后仍具有积分守恒性。;对离散方程守恒性的评价:
采用具有守恒性的离散方程计算得到的结果能与原物理问题在守恒性上保持一致;
可以使对任意大小体积的计算结果具有对原离散格式所估计的误差;
一般说,采用守恒性离散方程的计算结果比非守恒性的更为准确,但差分处理更繁;
对于非守恒性的离散方程,误差分析比较方便;同时,边界层类型的流动以及求解双曲型方程的特征线法大多是非守恒性的。因此,除某些情况,通常不强调一定用守恒性的离散方程。;其中,;速度结点与压强结点为什么不取相同位置?;;格子形心点(或网格线交叉点)上的u值取该点前后(或上下)结点上u的平均值,如:
格子形心点(或网格线交叉点)上的v值取该点上下(或前后)结点上v的平均值,如:
网格线交叉点上的uv乘积,取该点上下结点上u的平均值和该点前后结点上v的平均值的乘积,如:
△t为时间步长。为简化,差分方程中凡不带上标的均表示tn时刻的值。;采用FTCS格式,对速度u的微分方程在点(xi+△x/2,yi)构造差分方程,其中:;对作差分时,要注意其中的:;第一种情况:已知tn时刻的u、v
(1)计算tn时刻的D和Sp;
(2)根据压强微分方程计算tn时刻的p;
(3)根据速度u、v的微分方程分别计算tn+1时刻的u、v。
第二种情况:已知tn时刻的u、v、p
(1)根据速度u、v的微分方程分别计算tn+1时刻的u、v;
(2)计算tn+1时刻的D和Sp;
(3)根据压强微分方程计算tn+1时刻的p。;标志点和格子方法(MAC法);MAC法的特点:在格子中设置标志点。
以标志点来区分空格子、表面格子、流体格子,由此确定自由表面形状。
设标志点M的坐标为(xm,ym),其位置坐标与速度分量之间的关系为:;一般速度结点与标志点的位置不同,当速度结点的速度已知,如何计算标志点的速度?;边界条件;对称面S;a自由表面;;;;;VOF方法;VOF方法;讨论大Re数二维定常不可压层流边界层问题。
大Re数:在大部分流动区域内,惯性力远远大于粘性力,可忽略粘性力。
但这种近似处理不适用于固壁附近的边界层流动。由于很大,虽然粘性系数很小,但粘性(剪切)应力可以很大,与惯性力同阶,不能全部忽略。;边界层流动微分方程;曲壁边界层方程;可改写为:;其中,;边界条件;差分解法;求解常微分方程常用的、且有相当精度的方法是Runge-Kutta法。设有一阶常微分方程及初值条件:;四阶Runge-Kutta法,表达式不唯一;平板边界层问题的差分解法;曲壁边界层问题的差分解法;采用变量置换,令:,β为待定常数。
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