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广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数满足，则（???）．

A．1 B． C． D．

2．已知样本数据的平均数为9，则另一组数据的平均数为（????）

A． B． C．4 D．3

3．已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（????）

A．9 B．13 C．15 D．18

4．已知函数，若，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

5．已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（????）

A． B．

C． D．

6．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（????）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

7．在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

8．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（????）

A．1 B． C． D．

二、多选题

9．某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类?科技创新类?体艺特长类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1，并用分层随机抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（????）

??

A．满意度调查中抽取的样本容量为5000

B．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250

C．该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875

D．若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30，则

10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（????）

A．是周期为的周期函数 B．的值域为

C．是图象的一条对称轴 D．的图象关于点对称

11．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（????）

A．

B．平面DEB

C．三棱锥外接球的表面积是

D．若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为

三、填空题

12．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：

等待时间/分

频数

4

8

5

2

1

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝分．

13．已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为.

14．在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．

（1）当时，函数的对称中心坐标为；

（2）当时，合音的音调比纯音（填写“高”或“低”）．

四、解答题

15．如图，在斜坐标系中，分别是与轴?轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：

(1)若，求；

(2)若，求（用表示）；

(3)若，求向量的夹角的大小.

16．的内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，，求；

(3)若，，求边上的高.

17．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.

????

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求直线和平面所成角的正弦值.

18．为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》．试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内．已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120．现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)根据样本频率分布直方图，计算图中的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；

(2)已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向