竞赛讲座平面几何证明.docx

竞赛专题讲座－平面几何证明竞赛知识点拨】

线段或角相等的证明

利用全等△或相似多边形；

利用等腰△；

利用平行四边形；

利用等量代换；

利用平行线的性质或利用比例关系

利用圆中的等量关系等。

线段或角的和差倍分的证明

转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。

直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

两线平行与垂直的证明

利用两线平行与垂直的判定定理。

利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于

CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

【分析1】构造两个全等△。连结ED、AC、AF。CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

←

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】 △ABC内接于⊙O，P是弧AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证 ，PM2PN=MS2NT。

（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN

- →PM2PN=AM2BN

（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA

- →MS2NT=AM2BN

【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O和O的一个交点，两外公切线PP、QQ

1 2 12 12

分别切两圆于P、P、Q、Q，M、M

分别为PQ、PQ

的中点。求证：∠OAO=∠MAM。

1 2 1 2 1 2

11 22

1 2 1 2

【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交PP于C，交OO

于M，则C为

12 12

PP的中点，且

12

PM∥CM∥PM，故CM为MM

11 22 12

的中垂线。

在OM上截取MO=MO，则

1 3 2

∠MAO=∠MAO。

1 3 2 2

故只需证∠OAM=∠OAM，即

1 1 3 1

证 。

由△POM∽POM，MO=MO，OP=OA，OP=OA可得。

111 222 13 22 11 1 22 2

【例4】在△ABC中，ABAC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE= 。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA

DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC

←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG

连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG

DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

【例5】∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。

求证：线段PM为圆心到

∠ABC平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。

若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则

只需证DD‘=PM。连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。

过O作m⊥PK，则

D

D’,K P，

∴∠D‘PK=∠DKP

BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK

∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’D∥PM，

∴DMPD‘为平行四边形。

【例6】在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。

AM至M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。

倍长中线：延长

PQ∥AB← ← ←

←

∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠C