课时作业(四十八)　立体几何的综合问题.DOC

课时作业(四十八)立体几何的综合问题

1(2021·唐山市摸底考试)如图，在四棱锥P-ABD中，底面ABD是矩形，侧棱PD⊥底面ABD，PD＝D，E是P的中点。

(1)求证：PA∥平面BDE；

(2)若直线BD与平面PB所成的角为30°，求二面角-PB-D的大小。

解(1)证明：如图，连接A交BD于点，连接E。

由题意可知，PE＝E，A＝，

所以PA∥E，又PA?平面BDE，E?平面BDE，

所以PA∥平面BDE。

(2)以D为坐标原点，DA，D，DP所在直线分别为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系Dy，

不妨令PD＝D＝1，AD＝a，

则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，(0,1,0)，

P(0，0,1)，eq\(DB,\s\up6(→))＝(a,1,0)，eq\(PB,\s\up6(→))＝(a,1，－1)，

eq\(P,\s\up6(→))＝(0,1，－1)。

设平面PB的一个法向量为n＝(，y，)，

由eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(\(PB,\s\up6(→))·n＝0，,\(P,\s\up6(→))·n＝0，))得eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(a＋y－＝0，,y－＝0，))

所以可取n＝(0,1,1)。

由直线BD与平面PB所成的角为30°，

得|s〈eq\(DB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\(DB,\s\up6(→))·n|,|\(DB,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(1,\r(a2＋1)×\r(2))＝eq\f(1,2)，

解得a＝1。

可得平面PBD的一个法向量eq\(A,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，

所以s〈n，eq\(A,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\(A,\s\up6(→)),|n||\(A,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，

因为二面角-PB-D为锐二面角，

所以二面角-PB-D的大小为60°。

2如图，在三棱锥P-AB中，已知A＝2，AB＝B＝PA＝eq\r(2)，顶点P在平面AB上的射影为△AB的外接圆圆心。

(1)证明：平面PA⊥平面AB；

(2)若点在棱PA上，eq\f(|A|,|AP|)＝λ，且二面角P-B-的余弦值为eq\f(5\r(33),33)，试求λ的值。

解(1)证明：取A的中点，连接P，

由题意，得B2＋AB2＝A2，则△AB为直角三角形，所以为△AB的外接圆圆心。

又点P在平面AB上的射影为△AB的外接圆圆心，

所以P⊥平面AB，

又P?平面PA，所以平面PA⊥平面AB。

(2)连接B。由(1)可知P⊥平面AB，

所以P⊥B，P⊥，又B⊥A，

于是分别以，B，P所在直线为轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系。

则(0,0,0)，(1,0,0)，B(0,1,0)，A(－1,0,0)，

P(0,0,1)。

由题意得eq\(A,\s\up6(→))＝λeq\(AP,\s\up6(→))，λ∈(0,1)，eq\(AP,\s\up6(→))＝(1,0,1)，

(λ－1,0，λ)，

eq\(B,\s\up6(→))＝(1，－1,0)，

eq\(P,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，

eq\(,\s\up6(→))＝(2－λ，0，－λ)。

设平面B的一个法向量为＝(1，y1，1)，

则eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(·\(B,\s\up6(→))＝0，,·\(,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(1－y1＝0，,?2－λ?1－λ1＝0，))

令1＝1，得y1＝1，1＝eq\f(2－λ,λ)，

则＝eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(1，1，\f(2－λ,λ)))。

设平面PB的一个法向量为n＝(2，y2，2)，

由eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(n·\(B,\s\up6(→))＝0，,n·\(P,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(2－y2＝0，,2－2＝0，))

令2＝1，得y2＝1，2＝1，则n＝(1,1,1)，

s〈n，〉＝eq\f(n·,|n|||)＝eq\f(2＋\f(2－λ,λ),\r(3)·\r(2＋\f(?2－λ?2,λ2)))＝eq\f(5\r(33),33)，

解得λ＝eq\f(1,2)eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(λ＝\f(7,4)舍去))。

3．(2020·重庆名校联盟“二诊”)如图①所示，在等腰梯形ABD中，BE⊥AD，B＝3，AD＝15，BE＝3eq\r(3)。把△AB