课时作业(四十七)　利用空间向量求空间角.DOC

课时作业(四十七)利用空间向量求空间角

基础过关组

一、选择题

1．在正方体ABD-A1B11D1中，是AB的中点，则sin〈eq\(DB1,\s\up6(→))，eq\(,\s\up6(→))〉的值等于()

Aeq\f(1,2) Beq\f(\r(210),15)

eq\f(\r(2),3) Deq\f(\r(11),15)

解析分别以DA，D，DD1为，y，轴建系，令AD＝1，所以eq\(DB1,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq\(,\s\up6(→))＝eq\b\l\(\r\)(\a\vs4\al\1(1，－\f(1,2)，0))。所以s〈eq\(DB1,\s\up6(→))，eq\(,\s\up6(→))〉＝eq\f(1－\f(1,2),\r(3)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),15)。所以sin〈eq\(DB1,\s\up6(→))，eq\(,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(210),15)。

答案B

2．已知直四棱柱ABD-A1B11D1中，底面ABD为正方形，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与D1所成角的余弦值为()

Aeq\f(\r(10),10) Beq\f(1,5)

eq\f(3\r(10),10) Deq\f(3,5)

解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，(0,1,0)，D1(0，0,2)。所以eq\(BE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\(D1,\s\up6(→))＝(0，－1,2)。所以s〈eq\(BE,\s\up6(→))，eq\(D1,\s\up6(→))〉＝eq\f(1＋2,\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10)。

答案

3如图，在棱长为2的正方体ABD-A1B11D1中，E为线段D1的中点，则直线AE与平面A1BD1所成角的正切值为()

Aeq\f(\r(2),2) Beq\f(1,2)

eq\f(\r(3),2) Deq\r(2)

解析连接AB1，与A1B交于点F(图略)，由于AF⊥A1B，AF⊥B，则AF⊥平面A1BD1。连接EF，则∠AEF是直线AE与平面A1BD1所成的角，tan∠AEF＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(\r(2),2)。故选A。

答案A

4如图，点A，B，分别在空间直角坐标系y的三条坐标轴上，eq\(,\s\up6(→))＝(0,0,2)，平面AB的法向量为n＝(2,1,2)。设二面角-AB-的大小为θ，则sθ＝()

Aeq\f(4,3) Beq\f(\r(5),3)

eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)

解析由题意得平面AB的一个法向量为eq\(,\s\up6(→))＝(0,0,2)。又平面AB的法向量为n＝(2,1,2)，二面角-AB-的大小为θ，且为锐角，所以sθ＝eq\f(|\(,\s\up6(→))·n|,|\(,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(4,2×3)＝eq\f(2,3)。故选。

答案

5(2021·长春调研)如图所示，在直三棱柱AB-A1B11中，∠AB＝90°，2A＝AA1＝B＝2。若二面角B1-D-1的大小为60°，则AD的长为()

Aeq\r(2) Beq\r(3)

．2 Deq\f(\r(2),2)

解析如图所示，以为坐标原点，A，B，1所在直线分别为轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，1(0,0,2)。设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，eq\(D,\s\up6(→))＝(1,0，a)，eq\(B1,\s\up6(→))＝(0,2,2)。设平面B1D的一个法向量为＝(，y，)。由eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(·\(B1,\s\up6(→))＝2y＋2＝0，,·\(D,\s\up6(→))＝＋a＝0，))得eq\b\l\{\r\(\a\vs4\al\1(y＝－，,＝－a，))令＝－1，则＝(a,1，－1)。又平面1D的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由s60°＝eq\f(|·n|,|||n|)，得eq\f(1,\r(a2＋2))＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\r(2)(负值舍去)，所以AD＝eq\r(2)。故选A。

答案A

6．已知直四棱柱ABD-A1B11D1的所有棱长都相等，∠AB＝60°，则直线B1与平面ABB1A1所成角的余弦值为()

Aeq\f(\r(6),4) B